Каковы решения уравнения 1) (2cos²x+3sinx-3)*log2(√2cosx)=0 [-5n]?

Sherlok

67

Хорошо, давайте решим это уравнение пошагово.

Шаг 1: Проверка на ноль

Первым делом, нужно проверить, когда выражение внутри скобок равно нулю. В данном случае, у нас есть \(2\cos^2 x + 3\sin x - 3 = 0\). Давайте решим это уравнение.

Решение уравнения \(2\cos^2 x + 3\sin x - 3 = 0\) требует применения знаний о тригонометрии и решении квадратных уравнений. Внимание, шаги по решению этого уравнения будут сложными и займут много времени, поэтому я могу предоставить пошаговое решение, но если вы хотите сократить время и упростить задачу, то можно пропустить этот шаг и перейти к решению уравнения (2cos²x + 3sinx - 3) * log₂(√2cosx) = 0.

Шаг 2: Решение уравнения

Давайте перейдем к решению исходного уравнения (2cos²x + 3sinx - 3) * log₂(√2cosx) = 0, предполагая, что уравнение 2cos²x + 3sinx - 3 = 0 не имеет решений.

Для этого уравнения, мы видим, что один из множителей равен нулю: log₂(√2cosx) = 0 или (2cos²x + 3sinx - 3) = 0.

Давайте решим каждый множитель по отдельности.

Для первого множителя log₂(√2cosx) = 0, мы можем применить свойство логарифма и получить: (√2cosx) = 2^0, что означает, что (√2cosx) = 1.

Возводя в квадрат обе части уравнения, получим 2cosx = 1. Разделим обе части на 2, и получим cosx = 1/2.

По таблице значений тригонометрических функций, мы видим, что значение cosx равно 1/2 при \(x = \pi/3\) и \(x = 5\pi/3\).

Теперь перейдем ко второму множителю (2cos²x + 3sinx - 3) = 0.

Мы уже знаем, что одно из решений этого уравнения - \(x = \pi/3\). Давайте найдем остальные решения.

Разложим \(2\cos^2 x + 3\sin x - 3\) на \(2(\cos x)^2 + 3\sin x - 3\) и заменим \(\cos x\) на \(1 - 2\sin^2 x\) (с помощью тригонометрической формулы \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\)).

Подставим это значение в уравнение и получим \(2(1 - 2\sin^2 x) + 3\sin x - 3 = 0\).

Раскроем скобки и получим \(2 - 4\sin^2 x + 3\sin x - 3 = 0\).

Сгруппируем члены и получим \(-4\sin^2 x + 3\sin x - 1 = 0\).

Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем два числа, которые в сумме дают \(-3/4\) и в произведении дают \(-1/4\). Эти числа равны \(1/2\) и \(-1/2\).

Тогда можно разложить уравнение на \((-4\sin x + 1/2)(\sin x - 1/2) = 0\).

Это даст два уравнения: \(-4\sin x + 1/2 = 0\) и \(\sin x - 1/2 = 0\).

Решим каждое из них по отдельности.

Для \(-4\sin x + 1/2 = 0\) мы можем добавить \(4\sin x\) к обеим сторонам уравнения и получим \(4\sin x = 1/2\). Разделим обе стороны на 4 и получим \(\sin x = 1/8\).

По таблице значений тригонометрических функций, мы видим, что значение \(\sin x\) равно 1/8 при \(x = \arcsin(1/8)\).

Для \(\sin x - 1/2 = 0\) добавим 1/2 к обеим сторонам и получим \(\sin x = 1/2\).

По таблице значений тригонометрических функций, мы видим, что значение \(\sin x\) равно 1/2 при \(x = \pi/6\) и \(x = 5\pi/6\).

Таким образом, решениями уравнения (2cos²x+3sinx-3)*log₂(√2cosx) = 0 [-5n] являются:

1) \(x = \pi/3\)
2) \(x = \arcsin(1/8)\)
3) \(x = \pi/6\)
4) \(x = 5\pi/6\)