Каковы скорости поездов, если расстояние между станциями составляет 780 км, и они вышли навстречу друг другу с этих

Муха_6287

51

Чтобы решить эту задачу, давайте введем несколько обозначений. Пусть \(V_1\) обозначает скорость первого поезда, а \(V_2\) - скорость второго поезда. Также обозначим время, за которое поезда встретятся, как \(T\).

Мы знаем, что расстояние между станциями составляет 780 км и что поезда движутся друг на друга навстречу. Первый поезд будет двигаться со скоростью \(V_1\) в течение \(T\) часов, а второй - со скоростью \(V_2\) в течение того же времени. Тогда расстояние, пройденное первым поездом, равно \(V_1 \cdot T\), а расстояние, пройденное вторым поездом, равно \(V_2 \cdot T\). Общее расстояние между поездами составляет 780 км, поэтому получаем следующее уравнение:

\[V_1 \cdot T + V_2 \cdot T = 780\]

Также данный в задаче факт о скорости первого поезда на 10 км/ч больше скорости второго поезда позволяет нам записать еще одно уравнение:

\[V_1 = V_2 + 10\]

У нас два уравнения с двумя неизвестными (\(V_1\) и \(V_2\)), поэтому мы можем решить эту систему уравнений.

Сначала подставим выражение для \(V_1\) из второго уравнения в первое:

\[(V_2 + 10) \cdot T + V_2 \cdot T = 780\]

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:

\[V_2 \cdot T + 10 \cdot T + V_2 \cdot T = 780\]

\[2 \cdot V_2 \cdot T + 10 \cdot T = 780\]

Теперь выразим \(T\) через \(V_2\):

\[T = \frac{{780}}{{2 \cdot V_2 + 10}}\]

Теперь, когда у нас есть выражение для \(T\), мы можем подставить его во второе уравнение:

\[V_1 = V_2 + 10\]

\[V_1 = V_2 + 10\]

Подставим \(T\) вместо \(\frac{{780}}{{2 \cdot V_2 + 10}}\):

\[V_1 = V_2 + 10\]

\[V_1 = \frac{{780}}{{2 \cdot V_2 + 10}} + 10\]

Теперь мы имеем одно уравнение с одной неизвестной (\(V_2\)), которое мы можем решить.

Лучше всего провести алгебраические преобразования и упростить это уравнение до линейного уравнения, решение которого будет представлять собой значение скорости второго поезда.

\[V_1 = \frac{{780}}{{2 \cdot V_2 + 10}} + 10\]

Перенесем \(\frac{{780}}{{2 \cdot V_2 + 10}}\) на другую сторону уравнения:

\[V_1 - 10 = \frac{{780}}{{2 \cdot V_2 + 10}}\]

Перемножим обе стороны уравнения на \(2 \cdot V_2 + 10\):

\[(V_1 - 10)(2 \cdot V_2 + 10) = 780\]

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:

\[2 \cdot V_1 \cdot V_2 - 20 \cdot V_1 + 10 \cdot V_2 - 100 = 780\]

\[2 \cdot V_1 \cdot V_2 + 10 \cdot V_2 - 20 \cdot V_1 - 880 = 0\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(V_2\), которое мы можем решить, используя квадратное уравнение. Но решать такое уравнение не всегда очень удобно, поэтому мы можем воспользоваться фактом, что мы знаем, что скорость второго поезда на 10 км/ч меньше скорости первого поезда (\(V_1 = V_2 + 10\)).

Подставим \(V_2 + 10\) вместо \(V_1\) в уравнение:

\[2 \cdot (V_2 + 10) \cdot V_2 + 10 \cdot V_2 - 20 \cdot (V_2 + 10) - 880 = 0\]

\[2 \cdot V_2^2 + 20 \cdot V_2 + 10 \cdot V_2 - 20 \cdot V_2 - 200 - 880 = 0\]

\[2 \cdot V_2^2 + 10 \cdot V_2 - 1080 = 0\]

Решим это квадратное уравнение, используя формулу дискриминанта:

\[D = (10)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1080)\]
\[D = 100 + 8640\]
\[D = 8740\]

Поскольку \(D > 0\), у нас есть два различных корня:

\[V_2 = \frac{{-10 + \sqrt{8740}}}{4} \approx 37.22 \text{ км/ч}\]
\[V_2 = \frac{{-10 - \sqrt{8740}}}{4} \approx -47.22 \text{ км/ч}\]

Очевидно, что скорость не может быть отрицательной, поэтому отбросим второй корень.

Итак, скорость второго поезда составляет около 37.22 км/ч. Чтобы найти скорость первого поезда, мы можем использовать уравнение \(V_1 = V_2 + 10\):

\[V_1 = 37.22 + 10\]
\[V_1 \approx 47.22 \text{ км/ч}\]

Таким образом, скорость первого поезда составляет около 47.22 км/ч, а скорость второго поезда - около 37.22 км/ч.