Каковы стороны прямоугольника с периметром 84 см, чтобы его площадь была максимальной?

Chereshnya

8

Чтобы найти стороны прямоугольника, при которых его площадь будет максимальной, нужно использовать знание о свойствах прямоугольников. Начнем с того, что формулы для периметра и площади прямоугольника:

Периметр прямоугольника равен сумме всех его сторон: \[P = 2a + 2b\], где \(a\) и \(b\) - длины сторон.

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон: \[S = ab\].

Мы знаем, что периметр прямоугольника равен 84 сантиметра: \[2a + 2b = 84\]. Мы хотим найти значения \(a\) и \(b\), при которых площадь будет максимальной.

Теперь можно использовать метод математического анализа, чтобы найти максимальное значение площади. Для этого нам нужно выразить одну переменную через другую и подставить это выражение в формулу площади, затем найти максимум функции площади при помощи производных.

Давайте выразим \(a\) через \(b\) из уравнения периметра: \[a = \frac{84 - 2b}{2}\].

Подставим это выражение в формулу для площади: \[S = \frac{84 - 2b}{2} \cdot b\].

Упростим выражение: \[S = 42b - b^2\].

Теперь у нас есть функция площади прямоугольника, где \(b\) является переменной. Чтобы найти максимум площади, возьмем производную функции площади по \(b\) и приравняем ее к нулю:

\[\frac{dS}{db} = 42 - 2b = 0\].

Решим это уравнение относительно \(b\):

\[42 = 2b\].

\[b = 21\].

Теперь, чтобы найти значение \(a\), подставим значение \(b\) обратно в уравнение периметра:

\[2a + 2 \cdot 21 = 84\].

\[2a = 84 - 42\].

\[2a = 42\].

\[a = 21\].

Итак, стороны прямоугольника с периметром 84 см, при которых его площадь будет максимальной, равны 21 см и 21 см.

Проверим это, подставив значения \(a\) и \(b\) в формулу площади: \[S = 21 \cdot 21 = 441\]. Площадь равна 441 квадратному сантиметру.

Таким образом, чтобы площадь прямоугольника была максимальной при заданном периметре, необходимо, чтобы его стороны были равными 21 см и 21 см.