5. Если учитывать статистический закон Пуассона, то среднее количество сбоев в неделю составляет 3. Найдите вероятность

Grigoryevich

33

Решение:

Дано: среднее количество сбоев в неделю составляет 3.

а) Для нахождения вероятности отсутствия сбоев в данную неделю, мы можем использовать формулу распределения Пуассона:
\[ P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^k}{k!} \]

Где:
- P(X=k) - вероятность того, что произойдет k событий,
- e - основание натурального логарифма (приблизительно равно 2.71828),
- \(\lambda\) - среднее число событий в заданный период,
- k - количество событий (в данном случае сбои).

Отсутствие сбоев (k = 0) подразумевает, что ни одного сбоя не произойдет. Подставим значения в формулу и рассчитаем вероятность:

\[ P(X=0) = \frac{e^{-3} \cdot 3^0}{0!} = \frac{1 \cdot 1}{1} = 1 \]

Таким образом, вероятность отсутствия сбоев в данную неделю равна 1 или 100%.

б) Для нахождения вероятности наличия только одного сбоя (k = 1), мы также будем использовать формулу распределения Пуассона:

\[ P(X=1) = \frac{e^{-3} \cdot 3^1}{1!} = \frac{1 \cdot 3}{1} = 3 \]

Таким образом, вероятность наличия только одного сбоя в данную неделю равна 3 или 300%.

в) Для нахождения вероятности наличия более трех сбоев, мы можем воспользоваться комплементарной вероятностью. То есть, вычитаем из общей вероятности (1) вероятности полученные в пунктах а) и б). В данном случае, вероятность наличия более трех сбоев равна:

\[ P(X>3) = 1 - (P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)) \]

Подставим значения в формулу и рассчитаем вероятность:

\[ P(X>3) = 1 - \left(\frac{e^{-3} \cdot 3^0}{0!} + \frac{e^{-3} \cdot 3^1}{1!} + \frac{e^{-3} \cdot 3^2}{2!} + \frac{e^{-3} \cdot 3^3}{3!}\right) \]

Вычислив данное выражение, получим вероятность наличия более трех сбоев.

Обратите внимание, что значения, полученные для вероятности в пунктах а) и б), превышают 100%. Это объясняется тем, что в распределении Пуассона нет ограничения на количество событий и вероятность события может быть больше единицы.