Каковы сумма, разность, произведение и частное чисел x=35,49±0,002 и y=1,27±0,003?

Звездопад_Фея

25

Хорошо, давайте рассмотрим вашу задачу. У нас есть два числа, \(x=35,49\pm0,002\) и \(y=1,27\pm0,003\), и мы хотим найти их сумму, разность, произведение и частное.

1. Сумма:
Чтобы найти сумму \(x\) и \(y\), нужно сложить их значения.
\[x + y = (35,49 \pm 0,002) + (1,27 \pm 0,003)\]
Давайте сначала сложим числа без погрешностей:
\[x + y = 35,49 + 1,27\]
\[x + y = 36,76\]
Теперь сложим погрешности:
\[x + y = 36,76 \pm (0,002 + 0,003)\]
\[x + y = 36,76 \pm 0,005\]
Итак, сумма \(x\) и \(y\) равна \(36,76 \pm 0,005\).

2. Разность:
Чтобы найти разность \(x\) и \(y\), нужно вычесть значение \(y\) из значения \(x\).
\[x - y = (35,49 \pm 0,002) - (1,27 \pm 0,003)\]
Давайте сначала вычтем числа без погрешностей:
\[x - y = 35,49 - 1,27\]
\[x - y = 34,22\]
Теперь вычтем погрешности:
\[x - y = 34,22 \pm (0,002 + 0,003)\]
\[x - y = 34,22 \pm 0,005\]
Итак, разность \(x\) и \(y\) равна \(34,22 \pm 0,005\).

3. Произведение:
Чтобы найти произведение \(x\) и \(y\), нужно перемножить их значения.
\[x \cdot y = (35,49 \pm 0,002) \cdot (1,27 \pm 0,003)\]
Давайте сначала перемножим числа без погрешностей:
\[x \cdot y = 35,49 \cdot 1,27\]
\[x \cdot y = 45,0723\]
Теперь посчитаем погрешности:
У нас есть два значения с погрешностями, поэтому при перемножении лучше всего использовать метод пропагации ошибок.
Погрешность произведения можно найти следующим образом:
\[\Delta (x \cdot y) = \sqrt{(x \cdot \Delta y)^2 + (y \cdot \Delta x)^2}\]
Где \(\Delta x\) и \(\Delta y\) - погрешности \(x\) и \(y\) соответственно.
\[\Delta (x \cdot y) = \sqrt{(35,49 \cdot 0,003)^2 + (1,27 \cdot 0,002)^2}\]
\[\Delta (x \cdot y) \approx \sqrt{0,3858521793 + 0,0032184896}\]
\[\Delta (x \cdot y) \approx \sqrt{0,3890706689}\]
\[\Delta (x \cdot y) \approx 0,6239283\]
Итак, произведение \(x\) и \(y\) равно \(45,0723 \pm 0,6239283\).

4. Частное:
Чтобы найти частное \(x\) и \(y\), нужно разделить значение \(x\) на значение \(y\).
\[\frac{x}{y} = \frac{35,49 \pm 0,002}{1,27 \pm 0,003}\]
Нам нужно разделить числа без погрешностей:
\[\frac{x}{y} = \frac{35,49}{1,27}\]
\[\frac{x}{y} \approx 27,9528\]
Теперь посчитаем погрешности:
Так как мы выполняем деление, используем метод пропагации ошибок.
Погрешность частного можно найти следующим образом:
\[\Delta \left(\frac{x}{y}\right) = \frac{x \cdot \Delta y + y \cdot \Delta x}{y^2}\]
\[\Delta \left(\frac{x}{y}\right) = \frac{35,49 \cdot 0,003 + 1,27 \cdot 0,002}{1,27^2}\]
\[\Delta \left(\frac{x}{y}\right) \approx \frac{0,10647 + 0,00254}{1,6129}\]
\[\Delta \left(\frac{x}{y}\right) \approx \frac{0,10901}{1,6129}\]
\[\Delta \left(\frac{x}{y}\right) \approx 0,0675714\]
Итак, частное \(x\) и \(y\) равно \(27,9528 \pm 0,0675714\).

Вот и все! Мы нашли сумму, разность, произведение и частное чисел \(x\) и \(y\) с учетом их погрешности.