Каковы величина и направление скорости точки при t = 0, 1 и 2 секундах, если она движется по следующей формуле

Ягодка

40

Для решения данной задачи нам необходимо найти векторную скорость точки при заданных моментах времени \(t = 0\), \(t = 1\) и \(t = 2\).

Формула для нахождения скорости точки представляет собой производную от векторной функции положения по времени. В нашем случае, векторная функция положения задана следующими формулами: \(x = 4\sin\left(\frac{\pi t}{2}\)\), \(y = 3\sin\left(\frac{\pi t}{2}\)\).

Для того чтобы найти векторную скорость, необходимо взять производные от \(x\) и \(y\) по времени.

\[\begin{align*}
v_x &= \frac{dx}{dt} = 4\cdot\frac{\pi}{2}\cos\left(\frac{\pi t}{2}\right) = 2\pi\cos\left(\frac{\pi t}{2}\right) \\
v_y &= \frac{dy}{dt} = 3\cdot\frac{\pi}{2}\cos\left(\frac{\pi t}{2}\right) = \frac{3\pi}{2}\cos\left(\frac{\pi t}{2}\right)
\end{align*}\]

Таким образом, мы получаем выражения для составляющих векторной скорости. Подставим значения времени \(t = 0\), \(t = 1\) и \(t = 2\) в полученные формулы, чтобы найти значения скорости.

При \(t = 0\), подставим значения и получим:
\[\begin{align*}
v_{x0} &= 2\pi\cos\left(\frac{\pi\cdot 0}{2}\right) = 2\pi\cos(0) = 2\pi \\
v_{y0} &= \frac{3\pi}{2}\cos\left(\frac{\pi\cdot 0}{2}\right) = \frac{3\pi}{2}\cos(0) = \frac{3\pi}{2}
\end{align*}\]

Таким образом, величина скорости точки при \(t = 0\) секунда составляет \(v_0 = \sqrt{(v_{x0})^2 + (v_{y0})^2}\):
\[v_0 = \sqrt{(2\pi)^2 + \left(\frac{3\pi}{2}\right)^2} = \sqrt{4\pi^2 + \frac{9\pi^2}{4}} = \sqrt{\frac{25\pi^2}{4}} = \frac{5\pi}{2}\approx 7,85 \, \text{м/с}\]

Также, чтобы найти направление скорости, необходимо вычислить косинус угла между вектором скорости и осью \(x\) и \(y\).

\[\begin{align*}
\cos(v_0^x) &= \frac{v_{x0}}{v_0} = \frac{2\pi}{\frac{5\pi}{2}} = \frac{4}{5} = 0,8 \\
\cos(v_0^y) &= \frac{v_{y0}}{v_0} = \frac{\frac{3\pi}{2}}{\frac{5\pi}{2}} = \frac{3}{5} = 0,6
\end{align*}\]

Теперь найдем скорости при \(t = 1\) и \(t = 2\):

При \(t = 1\):
\[\begin{align*}
v_{x1} &= 2\pi\cos\left(\frac{\pi\cdot 1}{2}\right) = 2\pi\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0\\
v_{y1} &= \frac{3\pi}{2}\cos\left(\frac{\pi\cdot 1}{2}\right) = \frac{3\pi}{2}\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0
\end{align*}\]

Таким образом, векторная скорость при \(t = 1\) секунда равна нулю: \(v_1 = 0 \, \text{м/с}\).

При \(t = 2\):
\[\begin{align*}
v_{x2} &= 2\pi\cos\left(\frac{\pi\cdot 2}{2}\right) = 2\pi\cos(\pi) = -2\pi \\
v_{y2} &= \frac{3\pi}{2}\cos\left(\frac{\pi\cdot 2}{2}\right) = \frac{3\pi}{2}\cos(\pi) = -\frac{3\pi}{2}
\end{align*}\]

Таким образом, величина скорости точки при \(t = 2\) секунда составляет:
\[v_2 = \sqrt{(v_{x2})^2 + (v_{y2})^2} = \sqrt{(-2\pi)^2 + \left(-\frac{3\pi}{2}\right)^2} = \sqrt{4\pi^2 + \frac{9\pi^2}{4}} = \sqrt{\frac{25\pi^2}{4}} = \frac{5\pi}{2}\approx 7,85 \, \text{м/с}\]

Также, чтобы найти направление скорости, необходимо вычислить косинус угла между вектором скорости и осью \(x\) и \(y\):

\[\begin{align*}
\cos(v_2^x) &= \frac{v_{x2}}{v_2} = \frac{-2\pi}{\frac{5\pi}{2}} = -0,8 \\
\cos(v_2^y) &= \frac{v_{y2}}{v_2} = \frac{-\frac{3\pi}{2}}{\frac{5\pi}{2}} = -0,6
\end{align*}\]

Итак, скорость точки при \(t = 0\) составляет \(v_0 = \frac{5\pi}{2}\) м/с, а направление скорости задается косинусами углов между скоростью и осями:
\(\cos(v_0^x) = 0,8\) и \(\cos(v_0^y) = 0,6\).

Скорость точки при \(t = 1\) равна нулю: \(v_1 = 0\) м/с.

Скорость точки при \(t = 2\) составляет \(v_2 = \frac{5\pi}{2}\) м/с, а направление скорости задается косинусами углов между скоростью и осями:
\(\cos(v_2^x) = -0,8\) и \(\cos(v_2^y) = 0,6\).