Каковы возможные значения суммы цифр числа n−1, если натуральное число n записано различными цифрами и их сумма равна

Magnitnyy_Marsianin

66

Для решения этой задачи давайте разберемся в том, какими свойствами должно обладать число n, чтобы его сумма цифр равнялась 16.

Заметим, что наименьшее трехзначное число, у которого все цифры различны, это 102 (наименьшая цифра – 0 не может стоять на первом месте). Если мы сложим цифры этого числа, то получим 1 + 0 + 2 = 3, что меньше 16. Следовательно, число n должно иметь минимум четыре цифры.

Теперь посмотрим на случай четырехзначных чисел. Наименьшее четырехзначное число с различными цифрами это 1023. Однако, если мы сложим цифры этого числа (1 + 0 + 2 + 3), то получим 6, что все еще меньше 16. Поэтому, число n должно содержать не менее пяти цифр.

Продолжим исследование. Рассмотрим случай пятизначных чисел. Наименьшее пятизначное число с различными цифрами это 10234. Сумма его цифр равна 1 + 0 + 2 + 3 + 4 = 10. Мы все еще не достигли значения 16.

Будем увеличивать номера цифр, постепенно прибавляя по 1, чтобы сумма становилась больше. Заметим, что при добавлении каждой новой цифры мы увеличиваем сумму на 1.

Так, наименьшее шестизначное число с различными цифрами это 102345, сумма его цифр равна 1 + 0 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15. Если мы добавим цифру 1, то получим число 1023451, сумма его цифр будет равна 1 + 0 + 2 + 3 + 4 + 5 + 1 = 16.

Таким образом, было найдено пятое по счету (шестизначное) число с различными цифрами, сумма цифр которого равна 16. Следовательно, возможные значения суммы цифр числа \(n-1\) равны 3, 10 и 15.