Каковы возрасты Коли и Толи, если Коля старше Толи, возрасты обоих - целые числа меньше 100, и если поменять местами

Журавль

48

Пусть возраст Коли - это число \(x\), а возраст Толи - число \(y\). Также, мы знаем, что Коля старше Толи, то есть \(x > y\).

Поскольку, если поменять местами цифры возраста Коли, то получится возраст Толи, это означает, что числа \(x\) и \(y\) имеют всего две цифры и их разряды совпадают. Из этого следует, что \(x = 10a + b\), где \(a\) и \(b\) - это цифры возраста Коли, \(y = 10b + a\), где \(a\) и \(b\) - это цифры возраста Толи.

Также задано, что разность между квадратами их возрастов является квадратом другого целого числа. Это означает, что \((x^2 - y^2) = k^2\), где \(k\) - целое число.

Подставим значения \(x\) и \(y\) в формулу для разности квадратов:

\((x^2 - y^2) = (10a + b)^2 - (10b + a)^2\)

Раскроем скобки:

\((x^2 - y^2) = (100a^2 + 20ab + b^2) - (100b^2 + 20ab + a^2)\)

Упростим выражение, вычитая одно из другого:

\((x^2 - y^2) = 99a^2 - 99b^2\)

Факторизуем обе части разности:

\((x + y)(x - y) = 99(a^2 - b^2)\)

Так как разность возрастов положительна, то \(x > y\), а значит, \(x + y > x - y\).

Также заметим, что \(99(a^2 - b^2) = 9 \cdot 11(a + b)(a - b)\).

Значит, \(x + y = 9 \cdot 11\) и \(x - y = 1\).

Система уравнений:

\[\begin{cases} x + y = 9 \cdot 11 \\ x - y = 1 \end{cases}\]

Решим данную систему методом сложения:

\(2x = 9 \cdot 11 + 1\)

\(2x = 100\)

\(x = 50\)

Подставим значение \(x\) в одно из уравнений:

\(50 + y = 9 \cdot 11\)

\(y = 99 - 50\)

\(y = 49\)

Итак, Коле 50 лет, а Толе - 49 лет.