Каковы значения апофемы и плоского угла при вершине треугольной пирамиды, если ее полная поверхность составляет 16√3

Милочка

46

Данная задача предполагает нахождение значений апофемы и плоского угла при вершине треугольной пирамиды.

Для начала, давайте разберемся, что такое апофема и плоский угол при вершине треугольной пирамиды.

Апофема треугольной пирамиды — это перпендикулярное расстояние от вершины пирамиды до центра основания, т.е. от вершины до середины стороны основания.

Плоский угол при вершине треугольной пирамиды представляет собой угол между боковой гранью пирамиды и плоскостью основания, которые имеют общую сторону.

Теперь, приступим к решению задачи.

По условию задачи, полная поверхность треугольной пирамиды составляет 16√3 см², а площадь основания равна 4√3 см².

Первым шагом рассчитаем боковую поверхность пирамиды, которая представляет собой сумму площадей боковых граней. Так как у нас треугольная пирамида, то боковая поверхность будет состоять из трех равных треугольных граней. Площадь одной треугольной грани можно найти, используя формулу \(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\), где \(a\) - длина стороны треугольника, \(h\) - высота, опущенная на эту сторону.

Так как у нас пирамида, то у треугольника со стороной \(a\) высота равна апофеме \(h\).

Запишем формулу для нахождения боковой поверхности пирамиды:

\[S_{\text{бок}} = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\]

Заметим, что каждая треугольная грань является прямоугольным треугольником, где \(\frac{1}{2} \cdot a\) - катет, \(h\) - гипотенуза, а \(a\) - это половина стороны основания.

Так как площадь основания равна 4√3 см², то сторона основания равна \(a = \sqrt{4} = 2\).

Тогда катет будет равен \(\frac{1}{2} \cdot 2 = 1\).

Далее, из теоремы Пифагора найдем гипотенузу \(h\):

\[h = \sqrt{\text{гипотенуза}^2 - \text{катет}^2} = \sqrt{a^2 + (\frac{1}{2} \cdot a)^2} = \sqrt{a^2(\frac{5}{4})} = \frac{a\sqrt{5}}{2}\]

Теперь можем подставить значения в формулу для боковой поверхности:

\[S_{\text{бок}} = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{2\sqrt{5}}{2} = 3\sqrt{5}\]

Таким образом, боковая поверхность пирамиды равна \(3\sqrt{5} \, \text{см}^2\).

Теперь осталось найти апофему и плоский угол при вершине пирамиды.

Апофему мы можем найти, используя площадь основания и боковую поверхность. Формула для нахождения апофемы треугольной пирамиды:

\[S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot p\]

Где \(a\) - длина стороны основания, \(p\) - периметр основания, \(S_{\text{бок}}\) - боковая поверхность.

Периметр основания треугольной пирамиды может быть найден, суммируя все стороны основания треугольника. У нас сторона основания равна 2, значит периметр будет равен \(p = 2 + 2 + 2 = 6\).

Подставим известные значения в формулу для апофемы:

\[3\sqrt{5} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 6 \cdot a_{\text{пир}}\]

Таким образом, мы можем найти апофему пирамиды:

\[a_{\text{пир}} = \frac{3\sqrt{5}}{6} = \frac{\sqrt{5}}{2}\]

Апофема треугольной пирамиды равна \(\frac{\sqrt{5}}{2} \, \text{см}\).

Осталось найти плоский угол при вершине пирамиды.

Плоский угол при вершине треугольной пирамиды образуется между боковой гранью и плоскостью основания. Угол в плоской геометрии измеряется от 0° до 180°.

Так как пирамида имеет треугольную основу, у которой уже есть два угла 60°, то плоский угол при вершине пирамиды будет равен 180° - 2 * 60° = 60°.

Таким образом, плоский угол при вершине треугольной пирамиды равен 60°.

Теперь, чтобы проиллюстрировать решение задачи, я могу предоставить чертеж треугольной пирамиды. Однако, в текстовом редакторе, где мы общаемся, не поддерживается возможность добавления изображений. Но Вы можете с легкостью нарисовать треугольную пирамиду самостоятельно.