Каковы значения cos a, tg a и ctg a, если sin a = 1/6?

Тень

56

Дано, что \(\sin a = \frac{1}{6}\). Чтобы найти значения \(\cos a\), \(\tan a\) и \(\cot a\), воспользуемся следующими тригонометрическими соотношениями:

\[
\sin^2 a + \cos^2 a = 1 \quad \text{(тождество Пифагора)}
\]
\[
\tan a = \frac{\sin a}{\cos a} \quad \text{(определение тангенса)}
\]
\[
\cot a = \frac{1}{\tan a} = \frac{\cos a}{\sin a} \quad \text{(определение котангенса)}
\]

Давайте решим задачу пошагово:

Шаг 1: Найдем значение \(\cos a\).
Из тождества Пифагора получаем:
\[
\cos^2 a = 1 - \sin^2 a = 1 - \left(\frac{1}{6}\right)^2 = 1 - \frac{1}{36} = \frac{35}{36}
\]
Тогда
\[
\cos a = \pm \sqrt{\frac{35}{36}}
\]

Шаг 2: Определим знак значения \(\cos a\).
Поскольку \(\sin a > 0\) и \(\cos a > 0\) (так как\(\cos a\) является катетом второго квадранта, когда синус положителен), то \(\cos a\) должен быть положительным. Следовательно, \(\cos a = \sqrt{\frac{35}{36}}\).

Шаг 3: Рассчитаем значения \(\tan a\) и \(\cot a\).
Используя определения тангенса и котангенса, получим:
\[
\tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\frac{1}{6}}{\sqrt{\frac{35}{36}}} = \frac{\sqrt{35}}{6}
\]
\[
\cot a = \frac{1}{\tan a} = \frac{6}{\sqrt{35}}
\]

Итак, значения искомых функций тригонометрии, когда \(\sin a = \frac{1}{6}\), равны:
\[
\cos a = \sqrt{\frac{35}{36}}
\]
\[
\tan a = \frac{\sqrt{35}}{6}
\]
\[
\cot a = \frac{6}{\sqrt{35}}
\]