Каковы значения индуктивности L и емкости C в сети синусоидального тока с частотой 50 Гц, в которой подключены

Юрий

2

Конечно! Для начала нарисуем схему цепи:

\[
\begin{array}{ccc}
&\begin{array}{ccc} &\downarrow& R\\ &\downarrow& L\\ U &&\\ &\downarrow& C\\ &\downarrow&
\end{array} &\\
\end{array}
\]

Теперь разберемся пошагово в решении:

1. Напряжение на каждом элементе цепи одинаково, обозначим его как \(U\).
2. Сумма падений напряжения на всех элементах цепи равна поданному напряжению.
3. Пусть сопротивление реостата \(R\) равно 5 Ом, индуктивность \(L\) и емкость \(C\) неизвестны.
4. Падение напряжения на реостате равно \(UR\).
5. Падение напряжения на катушке, связанное с индуктивностью, равно \(iL\), где \(i\) - ток через катушку.
6. Падение напряжения на конденсаторе, связанное с емкостью, равно \( \frac{1}{C}\int i\, dt \) (интеграл от тока по времени).

Подставим все это в уравнение:

\[ UR + iL + \frac{1}{C}\int i\, dt = U \]

Теперь проведем анализ тригонометрической формы синусоидального тока:

Пусть синусоидальный ток представлен следующим образом:

\[ i(t) = I_m \sin(\omega t + \phi) \]

Где:
- \(I_m\) - максимальное значение тока,
- \(\omega\) - угловая частота,
- \(\phi\) - начальная фаза.

Ток протекает через каждый элемент цепи одинаково, поэтому можно записать:

\[ i = I_m \]

Аналогично, напряжение на каждом элементе цепи можно представить:

\[ U = U_m \]

Где:
- \(U_m\) - максимальное значение напряжения.

Теперь мы можем заменить \(UR\) и \(iL\) в уравнении:

\[ UR + iL + \frac{1}{C}\int i\, dt = U \]

На \(UR\) может быть влияние только активное сопротивление, а \(iL\) - только реактивное сопротивление. Таким образом, уравнение станет:

\[ UR + iL = U \]

Подставим в него значения:

\[ IU_m \cdot R + IU_m \cdot L = U_m \]

Упростим:

\[ (R + L) \cdot I = U \]

Теперь мы можем записать ток в следующей форме:

\[ I = \frac{U}{R + L} \]

Мы знаем, что \(I = I_m\), поэтому:

\[ I_m = \frac{U_m}{R + L} \]

Выразим из этого уравнения индуктивность:

\[ L = \frac{U_m}{I_m} - R \]

А теперь найдем емкость. Для этого рассмотрим треугольник напряжений:

\[
\begin{array}{ccc}
&\begin{array}{ccc} && U_m\\ &&\downarrow\\ &\nearrow U_C && \nwarrow U_L\\ &&\downarrow&&\downarrow\\ &\begin{array}{ccc} &\downarrow& R\\ &\downarrow& L\\ U &&\\ &\downarrow& C\\ &\downarrow&
\end{array} && \rightarrow\\
\end{array}
\]

Сумма падений напряжения в этом треугольнике равна \(U_m\). Используя теорему Пифагора, получим:

\[ U_m^2 = U_C^2 + (U_L - U)^2 \]

Вспоминая, что \(U = I_m \cdot R\), \(U_C = \frac{1}{C}\int i\, dt\) и \(U_L = iL\), можем записать:

\[ U_m^2 = \left(\frac{1}{C}\int i\, dt\right)^2 + (iL - I_mR)^2 \]

Так как мы уже знаем, что \(i = I_m\), упростим уравнение:

\[ U_m^2 = \left(\frac{1}{C}\int I_m\, dt\right)^2 + \left(I_m L - I_m R\right)^2 \]

\[ U_m^2 = \left(I_m\frac{1}{C}\int dt\right)^2 + I_m^2(L - R)^2 \]

\[ U_m^2 = \left(\frac{1}{C}\right)^2 I_m^2 t^2 + I_m^2(L - R)^2 \]

Где \(t\) - период (в данном случае \( t = \frac{1}{f} = \frac{1}{50} \) секунд).

Теперь мы можем выразить емкость:

\[ C = \frac{1}{\sqrt{ \left(\frac{U_m^2}{I_m^2 t^2} \right) - (L - R)^2}} \]

Таким образом, получаем значения индуктивности \(L\) и емкости \(C\). Подставив известные значения в уравнения, вычислите эти величины.