Найдите интеграл от выражения (11корень из х^9+6)dx

Бася

34

Конечно! Для начала вычислим данный интеграл. Для удобства обозначим $\sqrt{x^9+6}$ как $f(x)$. Тогда мы ищем значение интеграла от $f(x)$ по переменной $x$.

При решении данной задачи мы будем использовать метод замены переменной. Пусть $u=x^9+6$. Тогда дифференциал $du$ будет равен $9x^{8}dx$, откуда $dx=\frac{du}{9x^8}$.

Теперь мы можем заменить переменные в нашем интеграле:

$$\int \sqrt{x^9+6}dx=\int \sqrt{u}\frac{du}{9x^8}$$

Так как нам дано, что $u=x^9+6$, то $\sqrt{u}=\sqrt{x^9+6}$, а $dx=\frac{du}{9x^8}$. Подставим эти значения в интеграл:

$$\int \sqrt{x^9+6}dx=\int \frac{\sqrt{u}}{9x^8}du$$

Данный интеграл уже выглядит более простым. Теперь разделим числитель $\sqrt{u}$ и знаменатель $9x^8$:

$$\int \frac{\sqrt{u}}{9x^8}du=\frac{1}{9}\int \frac{\sqrt{u}}{x^8}du$$

Теперь нам необходимо проинтегрировать полученное выражение.

Для этого воспользуемся степенным свойством корня, согласно которому $\sqrt{u}=u^{1/2}$. Используя это свойство, можем записать:

$$\frac{1}{9}\int \frac{\sqrt{u}}{x^8}du=\frac{1}{9}\int \frac{u^{1/2}}{x^8}du$$

Теперь мы можем применить степенное свойство интеграла $\int u^{n}du=\frac{u^{n+1}}{n+1}$ и получить:

$$\frac{1}{9}\int \frac{u^{1/2}}{x^8}du=\frac{1}{9}\cdot \frac{u^{1/2+1}}{1/2+1}\cdot \frac{1}{x^8}+C$$

Упростим полученное выражение:

$$\frac{1}{9}\cdot \frac{u^{1/2+1}}{1/2+1}\cdot \frac{1}{x^8}+C=\frac{2}{9}\cdot \frac{u^{3/2}}{x^8}+C$$

Осталось вернуться к исходной переменной $x$. Заменим $u$ обратно на $x^9+6$:

$$\frac{2}{9}\cdot \frac{u^{3/2}}{x^8}+C=\frac{2}{9}\cdot \frac{(x^9+6{)}^{3/2}}{x^8}+C$$

Таким образом, значение интеграла от $\sqrt{x^9+6}$ равно $\frac{2}{9}\cdot \frac{(x^9+6{)}^{3/2}}{x^8}+C$, где $C$ - произвольная постоянная.