Найдите интеграл от выражения (11корень из х^9+6)dx

Бася

34

Конечно! Для начала вычислим данный интеграл. Для удобства обозначим \(\sqrt{x^9 + 6}\) как \(f(x)\). Тогда мы ищем значение интеграла от \(f(x)\) по переменной \(x\).

При решении данной задачи мы будем использовать метод замены переменной. Пусть \(u = x^9 + 6\). Тогда дифференциал \(du\) будет равен \(9x^8 \, dx\), откуда \(dx = \frac{du}{9x^8}\).

Теперь мы можем заменить переменные в нашем интеграле:

\[\int \sqrt{x^9 + 6} \, dx = \int \sqrt{u} \, \frac{du}{9x^8}\]

Так как нам дано, что \(u = x^9 + 6\), то \(\sqrt{u} = \sqrt{x^9 + 6}\), а \(dx = \frac{du}{9x^8}\). Подставим эти значения в интеграл:

\[\int \sqrt{x^9 + 6} \, dx = \int \frac{\sqrt{u}}{9x^8} \, du\]

Данный интеграл уже выглядит более простым. Теперь разделим числитель \(\sqrt{u}\) и знаменатель \(9x^8\):

\[\int \frac{\sqrt{u}}{9x^8} \, du = \frac{1}{9} \int \frac{\sqrt{u}}{x^8} \, du\]

Теперь нам необходимо проинтегрировать полученное выражение.

Для этого воспользуемся степенным свойством корня, согласно которому \(\sqrt{u} = u^{1/2}\). Используя это свойство, можем записать:

\[\frac{1}{9} \int \frac{\sqrt{u}}{x^8} \, du = \frac{1}{9} \int \frac{u^{1/2}}{x^8} \, du\]

Теперь мы можем применить степенное свойство интеграла \(\int u^n \, du = \frac{{u^{n+1}}}{{n+1}}\) и получить:

\[\frac{1}{9} \int \frac{u^{1/2}}{x^8} \, du = \frac{1}{9} \cdot \frac{{u^{1/2 + 1}}}{{1/2 + 1}} \cdot \frac{1}{{x^8}} + C\]

Упростим полученное выражение:

\[\frac{1}{9} \cdot \frac{{u^{1/2 + 1}}}{{1/2 + 1}} \cdot \frac{1}{{x^8}} + C = \frac{2}{9} \cdot \frac{{u^{3/2}}}{{x^8}} + C\]

Осталось вернуться к исходной переменной \(x\). Заменим \(u\) обратно на \(x^9 + 6\):

\[\frac{2}{9} \cdot \frac{{u^{3/2}}}{{x^8}} + C = \frac{2}{9} \cdot \frac{{(x^9 + 6)^{3/2}}}{{x^8}} + C\]

Таким образом, значение интеграла от \(\sqrt{x^9 + 6}\) равно \(\frac{2}{9} \cdot \frac{{(x^9 + 6)^{3/2}}}{{x^8}} + C\), где \(C\) - произвольная постоянная.