Каковы значения модулей в определенной пространственной точке и заданный момент времени модулей векторов Е и В в кубе

Iskander

60

Для решения данной задачи, нам понадобятся базовые формулы, связанные с электромагнитными волнами и их плотностью энергии.

Зная плотность энергии электромагнитной волны (W) в данной точке и времени, формула для ее расчета выглядит следующим образом:

\[W = \frac{1}{2} \cdot \epsilon_0 \cdot E^2 \cdot c + \frac{1}{2} \cdot \frac{B^2}{\mu_0 \cdot c},\]

где:
- \(\epsilon_0\) - электрическая постоянная, равная \(8,85 \times 10^{-12}\) Ф/м;
- \(E\) - модуль вектора электрического поля в данной точке;
- \(B\) - модуль вектора магнитного поля в данной точке;
- \(\mu_0\) - магнитная постоянная, равная \(12,56 \times 10^{-7}\) Н/м²;
- \(c\) - скорость света в вакууме, приближенно равная \(3 \times 10^8\) м/с².

Мы должны найти значения модулей векторов \(E\) и \(B\) в данной точке и времени. Для этого сначала найдем отношение \(B^2 / E^2\), подставив значения, данные в условии:

\[5,2 \times 10^{-6} = \frac{1}{2} \cdot (8,85 \times 10^{-12}) \cdot E^2 \cdot (3 \times 10^8) + \frac{1}{2} \cdot \frac{B^2}{(12,56 \times 10^{-7}) \cdot (3 \times 10^8)}.\]

Сократив и упростив данное уравнение, получим:

\[2,6 \times 10^{-6} = 1,3275 \cdot E^2 + \frac{2}{75,12} \cdot B^2.\]

Теперь рассмотрим формулу, связывающую \(E\) и \(B\) в электромагнитной волне:

\[E = c \cdot B.\]

Подставив данное выражение для \(E\) в уравнение, получим:

\[2,6 \times 10^{-6} = 1,3275 \cdot (c \cdot B)^2 + \frac{2}{75,12} \cdot B^2.\]

Упростим данное уравнение:

\[2,6 \times 10^{-6} = 1,3275 \cdot c^2 \cdot B^2 + \frac{2}{75,12} \cdot B^2.\]

Теперь объединим члены с \(B^2\):

\[B^2 \cdot \left(1,3275 \cdot c^2 + \frac{2}{75,12}\right) = 2,6 \times 10^{-6}.\]

Из этого уравнения можно определить значение \(B^2\):

\[B^2 = \frac{2,6 \times 10^{-6}}{1,3275 \cdot c^2 + \frac{2}{75,12}}.\]

Чтобы найти \(B\), возведем \(B^2\) в квадратный корень:

\[B = \sqrt{\frac{2,6 \times 10^{-6}}{1,3275 \cdot c^2 + \frac{2}{75,12}}}.\]

Теперь подставим найденное значение \(B\) обратно в уравнение \(E = c \cdot B\) и найдем значение \(E\):

\[E = c \cdot B = (3 \times 10^8) \cdot \sqrt{\frac{2,6 \times 10^{-6}}{1,3275 \cdot c^2 + \frac{2}{75,12}}}.\]

Это вычисление позволит нам найти значения модулей векторов \(E\) и \(B\) в указанной точке и времени в данном кубе.