Каковы значения неизвестных сторон и углов треугольника АВС, если сторона АВ равна 7 см, сторона ВС равна 11 см и угол

Konstantin

26

Для решения этой задачи нам понадобятся свойства треугольников и тригонометрические соотношения. Давайте рассмотрим каждый шаг подробнее.

Шаг 1: Найдем третью сторону треугольника АВС, сторону АС, используя теорему косинусов.

Теорема косинусов утверждает, что в треугольнике сторона, возведенная в квадрат, равна сумме квадратов двух других сторон, умноженных на косинус соответствующего угла.
В данной задаче у нас есть сторона АВ равна 7 см, сторона ВС равна 11 см и угол В равен 96°. Давайте найдем сторону АС.

Используем теорему косинусов:
\[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle B\]

Подставим значения:
\[AC^2 = 7^2 + 11^2 - 2 \cdot 7 \cdot 11 \cdot \cos 96°\]

Теперь вычислим это выражение:
\[AC^2 \approx 49 + 121 - 154 \cdot \cos 96°\]

Для дальнейших вычислений нам понадобится функция косинуса 96°.

Шаг 2: Найдем значение функции косинуса угла 96°.

Косинус 96° можно найти с использованием тригонометрической таблицы или калькулятора. Воспользуемся калькулятором:
\(\cos 96° \approx -0.243\)

Теперь можем подставить этот результат обратно в формулу для нахождения значения стороны АС:
\[AC^2 \approx 49 + 121 - 154 \cdot (-0.243) = 49 + 121 + 37.482 = 207.482\]

Таким образом, получаем:
\[AC \approx \sqrt{207.482} \approx 14.398\]

Шаг 3: Найдем значения углов треугольника АВС.

Углы треугольника можно найти, используя законы синусов и косинусов.

Для нахождения угла А, мы можем использовать теорему косинусов:
\[\cos \angle A = \frac{AC^2 + AB^2 - BC^2}{2 \cdot AC \cdot AB}\]

Подставим значения:
\[\cos \angle A = \frac{14.398^2 + 7^2 - 11^2}{2 \cdot 14.398 \cdot 7}\]

Вычислим это выражение:
\[\cos \angle A \approx \frac{20.697 + 49 - 121}{2 \cdot 14.398 \cdot 7} \approx \frac{-51.303}{201.583} \approx -0.254\]

Теперь найдем угол А, используя обратную функцию косинуса:
\[\angle A \approx \arccos(-0.254) \approx 104.53°\]

Теперь можем найти угол С, используя свойство суммы углов треугольника:
\[\angle C = 180° - \angle A - \angle B \approx 180° - 104.53° - 96° \approx -20.53°\]

Таким образом, значения сторон и углов треугольника АВС равны:

Сторона АС ≈ 14.398 см
Угол А ≈ 104.53°
Угол С ≈ -20.53° (Заметьте, что угол С получился отрицательным, это говорит о том, что мы должны рассмотреть его дополнительный угол в пределах 360°)

Надеюсь, это решение помогло вам понять, как найти значения сторон и углов треугольника АВС. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, задавайте.