Каковы значения первого, второго, третьего и четвертого центральных моментов для дискретной случайной величины

Murka

11

Для решения этой задачи посчитаем центральные моменты для дискретной случайной величины X с заданным распределением.

Центральные моменты определяются следующим образом:

\(k\)-ый центральный момент \(\mu_k = E[(X - E[X])^k]\),

где \(E[X]\) - математическое ожидание случайной величины X.

Для начала найдем математическое ожидание \(E[X]\) для заданного распределения.

Математическое ожидание случайной величины X вычисляется как сумма произведений значений случайной величины на их вероятности:

\(E[X] = \sum_{i=1}^{n} X_i \cdot P(X_i)\),

где \(X_i\) - значения случайной величины X, \(P(X_i)\) - вероятность их появления.

В нашем случае у нас два значения: 3 и 5 с соответствующими вероятностями 0,2 и 0,8.

Вычислим математическое ожидание \(E[X]\):

\(E[X] = 3 \cdot 0,2 + 5 \cdot 0,8 = 0,6 + 4 = 4,6\).

Теперь перейдем к нахождению значений центральных моментов.

Первый центральный момент (\(\mu_1\)) равен нулю, так как разница случайной величины с ее математическим ожиданием равна 0:

\(\mu_1 = E[(X - E[X])^1] = E[X - E[X]] = E[X] - E[X] = 0\).

Второй центральный момент (\(\mu_2\)) называется дисперсией, и он измеряет разброс значений случайной величины вокруг ее математического ожидания.

\(\mu_2 = E[(X - E[X])^2]\).

Вычислим второй центральный момент:

\(\mu_2 = (3-4,6)^2 \cdot 0,2 + (5-4,6)^2 \cdot 0,8 = 1,46 \cdot 0,2 + 0,16 \cdot 0,8 = 0,292 + 0,128 = 0,42\).

Третий центральный момент (\(\mu_3\)) характеризует асимметрию распределения. Если значение равно нулю, то распределение является симметричным.

\(\mu_3 = E[(X - E[X])^3]\).

Вычислим третий центральный момент:

\(\mu_3 = (3-4,6)^3 \cdot 0,2 + (5-4,6)^3 \cdot 0,8 = -8,352 \cdot 0,2 + 0,064 \cdot 0,8 = -1,6704 + 0,0512 = -1,6192\).

Четвертый центральный момент (\(\mu_4\)) характеризует остроту пика распределения.

\(\mu_4 = E[(X - E[X])^4]\).

Вычислим четвертый центральный момент:

\(\mu_4 = (3-4,6)^4 \cdot 0,2 + (5-4,6)^4 \cdot 0,8 = 34,5536 \cdot 0,2 + 0,0416 \cdot 0,8 = 6,91072 + 0,03328 = 6,944\).

Таким образом, значения первого, второго, третьего и четвертого центральных моментов для данной дискретной случайной величины равны:

\(\mu_1 = 0\),

\(\mu_2 = 0,42\),

\(\mu_3 = -1,6192\),

\(\mu_4 = 6,944\).