Каковы значения площадей красного и незакрашенного сегментов, если радиус круга составляет 4 дм, а меньший центральный

Vodopad

47

Для решения данной задачи, нам понадобятся формулы для вычисления площади сегмента круга. Площадь сегмента вычисляется по формуле:

\[S = \frac{r^2}{2} \cdot (\theta - \sin\theta)\]

Где:
\(S\) - площадь сегмента,
\(r\) - радиус круга,
\(\theta\) - центральный угол в радианах.

Также нам понадобится формула для вычисления площади круга:

\[S_{\text{круга}} = \pi \cdot r^2\]

Исходя из условия задачи, радиус круга составляет 4 дм, а меньший центральный угол равен 90°, то есть \( \frac{\pi}{2} \) радиан.

Для начала, вычислим площадь всего круга:

\[S_{\text{круга}} = \pi \cdot 4^2 = 16\pi \, \text{дм}^2\]

Теперь вычислим площадь красного сегмента. Подставим значения в формулу:

\[S_{\text{красного сегмента}} = \frac{4^2}{2} \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \sin\frac{\pi}{2} \right)\]

Мы знаем, что \(\sin\frac{\pi}{2} = 1\), поэтому:

\[S_{\text{красного сегмента}} = 8 \cdot \left(\frac{\pi}{2} - 1\right) = 4\pi - 8\, \text{дм}^2\]

Таким образом, площадь красного сегмента равна \(4\pi - 8\, \text{дм}^2\).

Теперь вычислим площадь незакрашенного сегмента. Для этого вычтем площадь красного сегмента из общей площади круга:

\[S_{\text{незакрашенного сегмента}} = S_{\text{круга}} - S_{\text{красного сегмента}}\]

\[S_{\text{незакрашенного сегмента}} = 16\pi - (4\pi - 8) = 12\pi + 8\, \text{дм}^2\]

Таким образом, площадь незакрашенного сегмента равна \(12\pi + 8\, \text{дм}^2\).

Итак, значение площади красного сегмента равно \(4\pi - 8\, \text{дм}^2\), а площади незакрашенного сегмента равна \(12\pi + 8\, \text{дм}^2\).