Каковы значения tg(a+b) и tg(a-b), если значение tga равно половине значения tgb?

Тайсон

36

Чтобы найти значения \(\tan{(a+b)}\) и \(\tan{(a-b)}\) при условии, что \(\tan{a}\) вдвое меньше, чем \(\tan{b}\), воспользуемся тригонометрическими формулами.

Мы знаем, что \(\tan{a} = \frac{\sin{a}}{\cos{a}}\) и \(\tan{b} = \frac{\sin{b}}{\cos{b}}\).

Теперь используем формулу суммы и разности тангенсов:

\[\tan{(a+b)} = \frac{\tan{a} + \tan{b}}{1 - \tan{a}\tan{b}}\]
\[\tan{(a-b)} = \frac{\tan{a} - \tan{b}}{1 + \tan{a}\tan{b}}\]

Мы знаем, что \(\tan{a} = \frac{1}{2}\tan{b}\), поэтому подставим это значение в формулы:

\[\tan{(a+b)} = \frac{(\frac{1}{2}\tan{b}) + \tan{b}}{1 - (\frac{1}{2}\tan{b})\tan{b}}\]
\[\tan{(a-b)} = \frac{(\frac{1}{2}\tan{b}) - \tan{b}}{1 + (\frac{1}{2}\tan{b})\tan{b}}\]

Можем продолжить упрощать эти выражения:

\[\tan{(a+b)} = \frac{\frac{3}{2}\tan{b}}{1 - \frac{1}{2}\tan^2{b}}\]
\[\tan{(a-b)} = \frac{-\frac{1}{2}\tan{b}}{1 + \frac{1}{2}\tan^2{b}}\]

Теперь у нас есть значения \(\tan{(a+b)}\) и \(\tan{(a-b)}\) в зависимости от \(\tan{b}\), которое является известным числом.

Однако, чтобы найти конкретные значения, нам нужно знать значение \(\tan{b}\). Если у вас есть конкретное значение \(\tan{b}\), пожалуйста, укажите его для проведения вычислений.