Каковы значения углов треугольника, вписанного в окружность с центром O, если длина дуги AB равна 140?

Максим

20

Чтобы решить эту задачу, давайте вспомним некоторые свойства вписанных углов и дуг.

1. Первое свойство: Угол, образованный хордой и дугой, равен половине меры дуги.

Таким образом, \(\angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 140 = 70^\circ\).

2. Второе свойство: Угол, образованный хордой и касательной, равен половине дуги, ограниченной этой хордой.

Из-за окружности \(O\), точка \(O\) - центр окружности, поэтому хорда \(AB\) делит равное расстояние между точками \(A\) и \(B\). Таким образом, угол \(\angle AIB\) (где \(I\) - это точка касания хорды \(AB\) и окружности \(O\)) также равен половине меры дуги \(AB\), то есть \(\angle AIB = 70^\circ\).

3. Третье свойство: Сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\).

Поскольку треугольник \(AIB\) является вписанным треугольником (то есть все его вершины лежат на окружности), сумма его углов равна \(180^\circ\). Так как угол \(\angle AIB\) равен \(70^\circ\), то сумма двух других углов треугольника равна \(180^\circ - 70^\circ = 110^\circ\).

Ответ: Значения углов треугольника, вписанного в окружность с центром \(O\), равны \(70^\circ\), \(70^\circ\) и \(110^\circ\).