Каковы значения второго катета и гипотенузы прямоугольного треугольника, если один из катетов равен 4 см и высота

Игнат

8

Пусть \(a\) - второй катет, \(c\) - гипотенуза прямоугольного треугольника, \(b\) - часть гипотенузы, которая находится между вершиной прямого угла и высотой, а \(d\) - другая часть гипотенузы.

Из условия задачи мы знаем, что один из катетов равен 4 см. Пусть этот катет равен \(a = 4\) см.

Высота, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на две части. Пусть эти части равны \(b\) и \(d\).

Таким образом, мы имеем следующие отношения:

\[
\frac{c}{b} = \frac{c}{d} = 2
\]

Заметим, что высота, проведенная из вершины прямого угла, является также вторым катетом. Из теоремы Пифагора, которая утверждает, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, получаем уравнение:

\[
a^2 + b^2 = c^2
\]

Заменяя \(a\) на 4 и \(c\) на \(2b\) (согласно условию задачи), получаем следующее:

\[
4^2 + b^2 = (2b)^2
\]

Решая это уравнение, найдем значение \(b\):

\[
16 + b^2 = 4b^2
\]

\[
3b^2 = 16
\]

\[
b^2 = \frac{16}{3}
\]

\[
b \approx 2.309 \text{ см}
\]

Также, теперь мы можем найти значение \(c\) с использованием \(b\) и \(d\).

Согласно отношению \(c : b = 2\), получаем:

\[
c = 2b \approx 2 \cdot 2.309 \text{ см} \approx 4.618 \text{ см}
\]

Итак, ответ: значение второго катета (высоты) составляет примерно 2.309 см, а гипотенузы - примерно 4.618 см.