Каковы значения выражения 2^x+y при условии, что (x; y) является решением системы уравнений 4^x+16y^2=y*2^(x+3

Антонович

7

Давайте начнем с анализа системы уравнений и найдем значения переменных \(x\) и \(y\).

Система уравнений выглядит следующим образом:

\[
\begin{align*}
4^x + 16y^2 &= y \cdot 2^{x+3} \\
y + 2^{x+1} &= 18
\end{align*}
\]

Мы можем решить это уравнение методом подстановки. Используя второе уравнение, давайте выразим \(y\) через \(x\):

\[
y = 18 - 2^{x+1}
\]

Теперь подставим это значение в первое уравнение:

\[
4^x + 16(18-2^{x+1})^2 = (18 - 2^{x+1}) \cdot 2^{x+3}
\]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[
4^x + 16(324 - 72 \cdot 2^{x+2} + 4^{x+1}) = (18 - 2^{x+1}) \cdot 8 \cdot 2^{x}
\]

Продолжим упрощение:

\[
4^x + 5184 - 1152 \cdot 2^{x+2} + 64 \cdot 4^{x+1} = 144 \cdot 2^{x} - 16 \cdot 2^{x+1}
\]

Далее, приведем все слагаемые справа и слева уравнения к общему знаменателю \(2^{x}\):

\[
(2^{2x} + 5184 \cdot 2^{-2x} - 1152 \cdot 2^{-x} + 64 \cdot 2^{2x} - 144 - 16 \cdot 2^{x}) \cdot 2^{x} = 0
\]

Теперь можно упростить уравнение:

\[
(85 \cdot 2^{2x} - 144 - 16 \cdot 2^{x}) \cdot 2^x = 0
\]

В итоге мы получаем квадратное уравнение:

\[
85 \cdot 2^{3x} - 16 \cdot 2^x - 144 \cdot 2^x = 0
\]

Чтобы решить его, представим \(2^x\) как обычную переменную, например, \(t\). Тогда уравнение примет вид:

\[
85t^3 - 16t - 144t = 0
\]

Найдем значение \(t\) методом подбора или с использованием калькулятора. Уравнение имеет три корня: \(t_1 = 0\), \(t_2 \approx -1.72\), \(t_3 \approx 0.94\).

Теперь найдем значения переменных \(x\) и \(y\). Вернемся к уравнению \(y = 18 - 2^{x+1}\) и подставим найденное значение \(t_1 = 0\):

\[
y = 18 - 2^{x+1} = 18 - 2^1 = 18 - 2 = 16
\]

Таким образом, при \(t_1 = 0\) получаем \(y = 16\).

Теперь подставим найденное значение \(t_2 \approx -1.72\):

\[
y = 18 - 2^{x+1} = 18 - 2^{-1.72+1} = 18 - 2^{0.28} \approx 17.89
\]

При \(t_2 \approx -1.72\) получаем \(y \approx 17.89\).

Аналогично, при \(t_3 \approx 0.94\) получаем:

\[
y = 18 - 2^{x+1} = 18 - 2^{0.94+1} = 18 - 2^{1.94} \approx 17.47
\]

Таким образом, при \(t_3 \approx 0.94\) получаем \(y \approx 17.47\).

Итак, у нас получились три решения для системы уравнений:
\((x_1, y_1) = (0, 16)\),
\((x_2, y_2) \approx (-1.72, 17.89)\),
\((x_3, y_3) \approx (0.94, 17.47)\).

Теперь мы можем вычислить значения выражения \(2^x+y\) для каждого решения:

\((2^{x_1} + y_1) = (2^0 + 16) = 2 + 16 = 18\),
\((2^{x_2} + y_2) \approx (2^{-1.72} + 17.89) \approx 0.413 + 17.89 \approx 18.303\),
\((2^{x_3} + y_3) \approx (2^{0.94} + 17.47) \approx 1.852 + 17.47 \approx 19.322\).

Таким образом, значения выражения \(2^x+y\) для каждого решения равны:
\(18\) для \((x_1, y_1) = (0, 16)\),
\(18.303\) для \((x_2, y_2) \approx (-1.72, 17.89)\),
\(19.322\) для \((x_3, y_3) \approx (0.94, 17.47)\).

Это ответ на нашу задачу. Если возникают дополнительные вопросы, пожалуйста, обращайтесь!