Каковы значения высоты, длин сторон основания и боковых граней треугольной призмы ABCA1B1C1 (h=6, ac=7, cb=8, ab=9)?

Вечный_Сон

39

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово для большей ясности.

Дано, что высота треугольной призмы равна \(h = 6\) единиц, а длины сторон основания равны \(AC = 7\), \(CB = 8\) и \(AB = 9\) единиц.

Шаг 1: Найдем площадь боковой поверхности призмы.

У треугольной призмы боковая поверхность состоит из трех прямоугольных граней. Для нахождения площади каждой грани, мы можем использовать формулу площади прямоугольника:

\[S_{\text{бок}} = h \times \text{периметр основания}\]

Периметр основания можно найти, сложив длины его сторон:

\[P_{\text{осн}} = AC + CB + AB\]

Вычислим периметр основания:

\[P_{\text{осн}} = 7 + 8 + 9\]

\[P_{\text{осн}} = 24\]

Теперь, найдем площадь боковой поверхности:

\[S_{\text{бок}} = 6 \times 24\]

\[S_{\text{бок}} = 144 \text{ единиц}^2\]

Таким образом, площадь боковой поверхности данной призмы равна 144 единицам квадратным.

Шаг 2: Найдем полную поверхность призмы.

Полная поверхность призмы состоит из основания и двух граней: верхней и нижней. Для нахождения полной поверхности, нужно сложить площадь основания и удвоенную площадь боковой поверхности:

\[S_{\text{полн}} = 2 \times S_{\text{бок}} + S_{\text{осн}}\]

\[S_{\text{полн}} = 2 \times 144 + \text{площадь основания}\]

Площадь основания можно найти, использовав формулу для площади треугольника по его сторонам (формула Герона):

\[S_{\text{осн}} = \sqrt{p \times (p - AC) \times (p - CB) \times (p - AB)}\]

где \(p\) - полупериметр основания, который вычисляется следующим образом:

\[p = \frac{{AC + CB + AB}}{2}\]

Вычислим полупериметр основания и площадь основания:

\[p = \frac{{7 + 8 + 9}}{2}\]

\[p = 12\]

\[S_{\text{осн}} = \sqrt{12 \times (12 - 7) \times (12 - 8) \times (12 - 9)}\]

\[S_{\text{осн}} = \sqrt{12 \times 5 \times 4 \times 3}\]

\[S_{\text{осн}} = \sqrt{720}\]

\[S_{\text{осн}} = 12\sqrt{5} \text{ единиц}^2\]

Теперь, найдем полную поверхность:

\[S_{\text{полн}} = 2 \times 144 + 12\sqrt{5}\]

\[S_{\text{полн}} = 288 + 12\sqrt{5} \text{ единиц}^2\]

Таким образом, полная поверхность данной призмы равна \(288 + 12\sqrt{5}\) единицам квадратным.

Шаг 3: Найдем объем призмы.

Объем призмы можно найти, умножив площадь основания на высоту:

\[V_{\text{пр}} = S_{\text{осн}} \times h\]

\[V_{\text{пр}} = 12\sqrt{5} \times 6\]

\[V_{\text{пр}} = 72\sqrt{5} \text{ единиц}^3\]

Таким образом, объем данной призмы равен \(72\sqrt{5}\) единицам кубическим.

Ответ:
- Площадь боковой поверхности призмы равна 144 единицам квадратным.
- Полная поверхность призмы равна \(288 + 12\sqrt{5}\) единицам квадратным.
- Объем призмы равен \(72\sqrt{5}\) единицам кубическим.