Какой биномиальный коэффициент в разложении (m+n)^8 (x+y)^7 является наибольшим?

Pushistik

4

Для решения этой задачи нам необходимо использовать формулу биномиальных коэффициентов. Биномиальный коэффициент \(\binom{n}{k}\) определяется следующим образом:

\[
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
\]

Где символ "!" обозначает факториал, т.е. произведение всех натуральных чисел от 1 до данного числа.

Теперь применим эту формулу к разложению \((m+n)^8 (x+y)^7\) и найдем биномиальные коэффициенты:

\((m+n)^8 = \binom{8}{0} \cdot m^{8} \cdot n^{0} + \binom{8}{1} \cdot m^{7} \cdot n^{1} + \binom{8}{2} \cdot m^{6} \cdot n^{2} + \binom{8}{3} \cdot m^{5} \cdot n^{3} + \binom{8}{4} \cdot m^{4} \cdot n^{4} + \binom{8}{5} \cdot m^{3} \cdot n^{5} + \binom{8}{6} \cdot m^{2} \cdot n^{6} + \binom{8}{7} \cdot m^{1} \cdot n^{7} + \binom{8}{8} \cdot m^{0} \cdot n^{8}\)

\((x+y)^7 = \binom{7}{0} \cdot x^{7} \cdot y^{0} + \binom{7}{1} \cdot x^{6} \cdot y^{1} + \binom{7}{2} \cdot x^{5} \cdot y^{2} + \binom{7}{3} \cdot x^{4} \cdot y^{3} + \binom{7}{4} \cdot x^{3} \cdot y^{4} + \binom{7}{5} \cdot x^{2} \cdot y^{5} + \binom{7}{6} \cdot x^{1} \cdot y^{6} + \binom{7}{7} \cdot x^{0} \cdot y^{7}\)

Теперь у нас есть все необходимые данные, чтобы определить наибольший биномиальный коэффициент. Нам нужно выбрать наибольшее значение из всех выражений \(\binom{8}{k} \cdot \binom{7}{7-k}\), где \(k\) принимает значения от 0 до 7.

Проанализируем каждое выражение и найдем наибольший биномиальный коэффициент:

\(\binom{8}{0} \cdot \binom{7}{7-0} = 1 \cdot \binom{7}{7} = 1 \cdot 1 = 1\)

\(\binom{8}{1} \cdot \binom{7}{7-1} = 8 \cdot \binom{7}{6} = 8 \cdot 7 = 56\)

\(\binom{8}{2} \cdot \binom{7}{7-2} = 28 \cdot \binom{7}{5} = 28 \cdot 21 = 588\)

\(\binom{8}{3} \cdot \binom{7}{7-3} = 56 \cdot \binom{7}{4} = 56 \cdot 35 = 1960\)

\(\binom{8}{4} \cdot \binom{7}{7-4} = 70 \cdot \binom{7}{3} = 70 \cdot 35 = 2450\)

\(\binom{8}{5} \cdot \binom{7}{7-5} = 56 \cdot \binom{7}{2} = 56 \cdot 21 = 1176\)

\(\binom{8}{6} \cdot \binom{7}{7-6} = 28 \cdot \binom{7}{1} = 28 \cdot 7 = 196\)

\(\binom{8}{7} \cdot \binom{7}{7-7} = 8 \cdot \binom{7}{0} = 8 \cdot 1 = 8\)

\(\binom{8}{8} \cdot \binom{7}{7-8} = 1 \cdot \binom{7}{-1} = 1 \cdot 0 = 0\)

Из всех этих значений наибольшим является 2450. Таким образом, биномиальный коэффициент \(\binom{8}{4}\) является наибольшим в данном разложении.