Какой будет новый период вертикальных свободных колебаний пружинного маятника, если масса груза уменьшится в 2 раза

Летучая_Мышь

12

Для решения данной задачи, давайте вспомним формулу для периода вертикальных свободных колебаний пружинного маятника:

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\]

Где:
\(T\) - период колебаний,
\(m\) - масса груза,
\(k\) - жесткость пружины.

Итак, у нас есть два изменения: масса груза уменьшается в 2 раза (\(m" = \frac{m}{2}\)), а жесткость пружины увеличивается вдвое (\(k" = 2k\)).

Мы хотим найти новый период колебаний \(T"\). Подставим новые значения в формулу и решим задачу:

\[T" = 2\pi\sqrt{\frac{m"}{k"}} = 2\pi\sqrt{\frac{\frac{m}{2}}{2k}} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{4k}} = 2\pi\sqrt{\frac{1}{4}}\sqrt{\frac{m}{k}}\]

Мы заметим, что \(\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}\), поэтому:

\[T" = 2\pi\left(\frac{1}{2}\right)\sqrt{\frac{m}{k}}\]

Упростим выражение:

\[T" = \pi\sqrt{\frac{m}{k}}\]

Таким образом, новый период вертикальных свободных колебаний пружинного маятника будет равен \(\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\) и он не зависит от изменений массы груза и жесткости пружины, если отношение \(\frac{m}{k}\) остается неизменным.