Какой будет объем фигуры, если вращать криволинейную трапецию, ограниченную линиями y=0,5 x=2 x=1 y=0, вокруг

Ledyanaya_Magiya

39

Для решения этой задачи, нам необходимо использовать метод цилиндрических оболочек. Этот метод позволяет найти объем фигуры, созданной вращением заданной криволинейной фигуры вокруг оси.

Для начала, давайте построим график криволинейной трапеции и оси вращения.

Ось вращения будет проходить перпендикулярно плоскости x-y и проходить через точку (1, 0).

\[
\begin{align*}
y &= 0.5x \\
x &= 2 \\
x &= 1 \\
y &= 0 \\
\end{align*}
\]

Теперь мы будем вращать эту фигуру вокруг оси и создавать тонкие цилиндрические оболочки. Размер каждой оболочки будет зависеть от высоты криволинейной трапеции в этой точке.

Пусть высота криволинейной трапеции в точке \(x\) будет обозначаться как \(h(x)\). Мы заметим, что высота изменяется от нуля на левой стороне трапеции до \(h(2) = 1\) на правой стороне трапеции.

Объем каждой цилиндрической оболочки может быть найден как площадь основания, умноженная на высоту оболочки. Площадь основания равна длине окружности, которую образует точка на криволинейной трапеции, умноженная на окружностью радиусом \(x\) (расстояние от точки до оси вращения).

Таким образом, объем каждой цилиндрической оболочки может быть записан как:

\[
V = 2\pi x \cdot h(x) \cdot dx
\]

Для нахождения общего объема фигуры, мы должны проинтегрировать это выражение от \(x = 1\) до \(x = 2\):

\[
\int_{1}^{2} 2\pi x \cdot h(x) \cdot dx
\]

Чтобы найти функцию \(h(x)\), мы можем использовать уравнение линии \(y = 0.5x\). Так как высота фигуры равна разности значений \(y\) в двух точках на криволинейной трапеции, то:

\[
h(x) = 0.5x - 0
\]

Мы готовы проинтегрировать выражение для объема:

\[
V = \int_{1}^{2} 2\pi x \cdot (0.5x) \cdot dx
\]

Выполним вычисления:

\[
V = 2\pi \int_{1}^{2} 0.5x^2 \, dx
\]

\[
V = 2\pi \cdot \frac{1}{6}x^3 \bigg|_{1}^{2}
\]

Подставляем верхний и нижний пределы и вычисляем:

\[
V = 2\pi \cdot \frac{1}{6}(2^3 - 1^3)
\]

\[
V = \frac{2}{3}\pi (8 - 1)
\]

\[
V = \frac{14}{3}\pi
\]

Таким образом, объем фигуры, созданной вращением данной криволинейной трапеции вокруг оси, равен \(\frac{14}{3}\pi\).