Какой будет общий вид первообразной функции F(x) = 1 + 1/sin^2(x)?

Yabednik

3

Для решения данной задачи, мы должны найти общий вид первообразной функции \(F(x)\) от функции \(f(x) = 1 + \frac{1}{\sin^2(x)}\).

Мы знаем, что первообразная функция это функция, производная которой равна исходной функции. Таким образом, нам нужно найти такую функцию \(F(x)\), производная которой будет равна \(f(x)\).

Давайте найдем производную функции \(F(x)\) по шагам:

\[F"(x) = \frac{d}{dx} \left( 1 + \frac{1}{\sin^2(x)} \right)\]

Для удобства рассмотрим дробь второго слагаемого отдельно:

\[\frac{1}{\sin^2(x)} = \csc^2(x)\]

Далее, мы применим правило дифференцирования для суммы и произведения функций.

\[\frac{d}{dx} \left( 1 + \csc^2(x) \right) = \frac{d}{dx} 1 + \frac{d}{dx} \csc^2(x)\]

Так как первое слагаемое равно константе, его производная будет равна нулю:

\[\frac{d}{dx} 1 = 0\]

Для дифференцирования функции \(\csc^2(x)\), мы можем использовать правило дифференцирования для производной котангенса:

\[\frac{d}{dx} \csc^2(x) = -2 \cot(x) \csc^2(x)\]

Теперь, вернемся к производной функции \(F(x)\):

\[F"(x) = 0 + (-2 \cot(x) \csc^2(x))\]

Заметим, что получившееся выражение равно исходной функции \(f(x)\):

\[F"(x) = f(x)\]

Таким образом, общий вид первообразной функции \(F(x)\) будет:

\[F(x) = -2 \cot(x) \csc^2(x) + C\]

где \(C\) - произвольная постоянная.

Пожалуйста, обратите внимание, что данное решение детально объясняет процесс получения общего вида первообразной функции и базируется на математических правилах дифференцирования.