Какой будет остаток от деления многочлена f(x) = 2x4 – 3x2 + 5x – 8 на двучлен

Matvey_6338

56

Для решения этой задачи давайте сначала определим формулу для деления многочлена на двучлен.

Пусть у нас есть многочлен f(x) и двучлен (x - a), тогда по теореме о делении многочленов получаем:

\[ f(x) = (x - a) \cdot q(x) + r \]

где q(x) - частное, a r - остаток от деления.

В нашем случае многочлен f(x) = 2x^4 - 3x^2 + 5x - 8, а двучлен (x - 2).

Теперь решим задачу шаг за шагом:

1. Найдем частное q(x) и остаток r от деления многочлена f(x) на (x - 2).

2. Для начала разделим старшие коэффициенты многочлена на старший коэффициент двучлена: 2x^4 / x = 2x^3.

3. Умножим (x - 2) на 2x^3 и вычтем результат из многочлена f(x), чтобы получить новый многочлен:

\[ 2x^4 - 3x^2 + 5x - 8 - 2x^3 \cdot (x - 2) = 2x^4 - 4x^3 + 3x^2 \]

4. Повторим процесс для оставшихся членов в новом многочлене:

a. Разделим старшие коэффициенты нового многочлена на старший коэффициент двучлена: 2x^2 / x = 2x.

b. Умножим (x - 2) на 2x и вычтем результат из текущего многочлена:

\[ 2x^4 - 4x^3 + 3x^2 - 2x \cdot (x - 2) = 2x^4 - 4x^3 + 3x^2 - 2x^2 + 4x \]

5. Повторим для оставшихся членов:

a. Разделим старшие коэффициенты на старший коэффициент двучлена: 2x / x = 2.

b. Умножим (x - 2) на 2 и вычтем из текущего многочлена:

\[ 2x^4 - 4x^3 + 3x^2 - 2x^2 + 4x - 2 \cdot (x - 2) = 2x^4 - 4x^3 + 3x^2 - 2x^2 + 4x - 2x + 4 \]

6. Получаем остаток r = 4.

Итак, остаток от деления многочлена \( f(x) = 2x^4 - 3x^2 + 5x - 8 \) на двучлен \( (x - 2) \) равен 4.