Какой будет уравнение касательной к графику функции у= 2х+3/x^2-1 в точке с абсциссой х=2 и как следует начать решение?

Звездная_Галактика

9

Для того чтобы найти уравнение касательной к данной функции в заданной точке, мы можем использовать производную функции и формулу для уравнения касательной. Давайте начнем с нахождения производной функции.

Для данной функции, у= 2х + \frac{3}{{x^2 - 1}}, мы можем использовать правило дифференцирования для суммы и произведения функций, чтобы найти производную. Таким образом, производная функции будет выглядеть следующим образом:

y" = (2x)" + \left(\frac{3}{{x^2 - 1}}\right)"

Давайте вычислим производные каждой части функции по отдельности.

1. Производная от 2x: Если у нас есть функция вида f(x) = cx, где c - константа, то производная этой функции будет равна c. В данном случае, производная от 2x будет равна 2.

2. Производная от \frac{3}{{x^2 - 1}}: Для этого нам понадобится использовать правило дифференцирования обратной функции. Если у нас есть функция g(x) = \frac{1}{f(x)}, то производная от g(x) будет равна -\frac{f"(x)}{(f(x))^2}. В данном случае, функция f(x) = x^2 - 1, поэтому производная от \frac{3}{{x^2 - 1}} будет выглядеть следующим образом:

\left(\frac{3}{{x^2 - 1}}\right)" = -\frac{(x^2 - 1)"}{(x^2 - 1)^2}

Для вычисления производной x^2 - 1 вам понадобится использовать правила дифференцирования для суммы и разности степеней.

Теперь, когда у нас есть производные обоих частей функции, мы можем записать уравнение для касательной в точке x=2. Формула уравнения касательной имеет вид y - y_0 = m(x - x_0), где (x_0, y_0) - координаты точки на кривой, m - значение производной в этой точке.

Подставим значения x=2 и производных в уравнение касательной:

y - y_0 = m(x - x_0)

где x_0 = 2, y_0 = у(2), m = y"(2).

Теперь давайте подставим значения в уравнение:

y - y(2) = y"(2)(x - 2)

Уравнение касательной к графику функции y= 2х + \frac{3}{{x^2 - 1}} в точке с абсциссой x=2 будет иметь вид:

y - y(2) = y"(2)(x - 2)

Теперь вам нужно только вычислить значение y(2) и y"(2), и подставить их в уравнение, чтобы получить окончательное уравнение касательной.