Какой будет значение десятого элемента в геометрической прогрессии, если b9b11=16?

Вечная_Зима_7315

60

Для решения этой задачи, нам необходимо сначала определить первый элемент и знаменатель геометрической прогрессии (здесь обозначим их как \(a\) и \(q\) соответственно). Затем мы можем использовать формулу для нахождения \(n\)-го элемента геометрической прогрессии:

\[a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\]

где \(a_n\) - \(n\)-й элемент прогрессии, \(a_1\) - первый элемент прогрессии, \(q\) - знаменатель прогрессии.

В данной задаче у нас дано, что \(b_9 \cdot b_{11} = 16\). Чтобы найти \(b_{10}\), нам необходимо найти первый элемент (\(a_1\)) и знаменатель (\(q\)).

Мы знаем, что \(b_9 = a_1 \cdot q^8\) и \(b_{11} = a_1 \cdot q^{10}\). Из условия задачи также известно, что \(b_9 \cdot b_{11} = 16\). Таким образом, мы можем записать следующее:

\[a_1 \cdot q^8 \cdot a_1 \cdot q^{10} = 16\]

\[a_1^2 \cdot q^{18} = 16\]

Теперь мы можем решить это уравнение. Возведем обе стороны в корень степени 18:

\[a_1 \cdot q = \sqrt[18]{16}\]

Для удобства вычислений, давайте выразим \(\sqrt[18]{16}\) через обыкновенный корень:

\(\sqrt[18]{16} = \sqrt[9]{\sqrt{16}} = \sqrt[9]{4}\)

Таким образом, мы получили, что \(a_1 \cdot q = \sqrt[9]{4}\).

Теперь нам нужно найти значение \(b_{10}\), что соответствует \(n = 10\) в нашей формуле. Подставим \(n = 10\) в формулу геометрической прогрессии:

\[b_{10} = a_1 \cdot q^{10-1} = a_1 \cdot q^9\]

Используя то, что мы получили ранее (\(a_1 \cdot q = \sqrt[9]{4}\)), мы можем записать:

\[b_{10} = (\sqrt[9]{4}) \cdot q^9\]

Таким образом, значение десятого элемента геометрической прогрессии равно \((\sqrt[9]{4}) \cdot q^9\).