Яким чином можна вирахувати похідну в точці y=2tg4x, при x0=п/4?

Hrabryy_Viking

36

Хорошо, чтобы найти производную в заданной точке \( x_0 = \frac{\pi}{4} \) функции \( y = 2\tan(4x) \), мы будем использовать производную тангенса и правило дифференцирования произведения функций.

Шаг 1: Найдем производную тангенса.
Известно, что производная функции \( \tan(x) \) равна \( \sec^2(x) \), где \( \sec(x) \) - секанс, обратная функции косинуса. То есть, \( \frac{d}{dx}(\tan(x)) = \sec^2(x) \).

Шаг 2: Найдем производную композиции функций.
Применим правило дифференцирования произведения функций к \( y = 2\tan(4x) \). Мы используем цепное правило для дифференцирования композиции функций.
Это правило звучит так: если \( f(x) = g(h(x)) \), то \( f"(x) = g"(h(x)) \cdot h"(x) \).

В нашем случае, \( g(u) = 2u \) и \( h(x) = \tan(4x) \).
Тогда \( y = g(h(x)) \) и можно записать:
\( \frac{dy}{dx} = g"(h(x)) \cdot h"(x) \).

Теперь мы можем начать вычисления.

Шаг 3: Вычисление производных.
a) Найдем производную главной функции \( g(u) = 2u \). Главная функция - это просто умножение на константу, и ее производная равна этой константе.
Таким образом, \( g"(u) = 2 \).
b) Найдем производную внутренней функции \( h(x) = \tan(4x) \). Мы уже знаем, что \( \frac{d}{du}(\tan(u)) = \sec^2(u) \).
Применяя производную тангенса, получаем:
\( h"(x) = 4\sec^2(4x) \).

Шаг 4: Подставим найденные производные в формулу \( \frac{dy}{dx} = g"(h(x)) \cdot h"(x) \).
Мы уже вычислили \( g"(u) = 2 \) и \( h"(x) = 4\sec^2(4x) \).
Подставим эти значения в формулу:
\( \frac{dy}{dx} = 2 \cdot 4\sec^2(4x) \).

Шаг 5: Вычислим значение производной в заданной точке \( x_0 = \frac{\pi}{4} \).
Подставим \( x_0 \) вместо \( x \) в формулу, чтобы найти значение производной в этой точке:
\( \frac{dy}{dx}\bigg|_{x_0} = 2 \cdot 4\sec^2(4 \cdot \frac{\pi}{4}) \).

Теперь остается только вычислить это значение:

\[ \frac{dy}{dx}\bigg|_{x_0} = 2 \cdot 4\sec^2(\pi) \].

Обратите внимание, что значение секанса \(\sec(\pi)\) является неопределенным, так как косинус \(\cos(\pi)\) равен -1, а секанс - это обратная функция косинуса.

Таким образом, мы можем сказать, что производная функции \( y = 2\tan(4x) \) в точке \( x_0 = \frac{\pi}{4} \) не существует.