Какой была длина сжатия пружины, когда ее отпустили, если брусок достиг скорости 1 м/с? Не учитывать трение

Dobryy_Angel

44

Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся следующие физические принципы: закон сохранения энергии и закон Гука.

Закон сохранения энергии гласит, что полная механическая энергия системы остается постоянной, если не действуют внешние силы (как в этой задаче, где не учитывается трение). Полная механическая энергия включает кинетическую энергию (Эк) и потенциальную энергию (Эп).

В начальный момент, когда пружина была сжата, у нее была только потенциальная энергия (как все частицы оставались неподвижными). По мере растяжения пружины и движения бруска, потенциальная энергия пружины превращается в кинетическую энергию бруска. Когда брусок достигает скорости 1 м/с, он полностью превращает всю потенциальную энергию пружины в кинетическую энергию.

Формула для потенциальной энергии пружины:

\[ Эп = \frac{1}{2} k x^2 \]

где k - коэффициент жесткости пружины, а x - длина сжатия или растяжения пружины.

Кинетическая энергия бруска:

\[ Эк = \frac{1}{2} m v^2 \]

где m - масса бруска, а v - скорость бруска.

Поскольку полная механическая энергия остается постоянной, мы можем записать:

\[ Эп + Эк = \text{const} \]

При отпускании пружины, брусок достигает максимальной скорости и потенциальная энергия пружины полностью превращается в кинетическую энергию бруска. Потенциальная энергия равна нулю, так как пружина не сжата. Таким образом, у нас остается только кинетическая энергия бруска:

\[ Эк = \text{const} \]

Подставим значения в формулу для кинетической энергии:

\[ \frac{1}{2} m v^2 = \text{const} \]

\[ v^2 = \frac{2 \cdot \text{const}}{m} \]

Теперь мы знаем, что кинетическая энергия бруска пропорциональна квадрату его скорости.

Мы также знаем, что в конечный момент времени брусок достигает скорости 1 м/с, так что мы можем записать:

\[ v = 1 \, \text{м/с} \]

Теперь мы можем использовать заложенные в формулу значения, чтобы найти константу:

\[ \frac{1}{2} m \cdot 1^2 = \text{const} \]

\[ \frac{1}{2} m = \text{const} \]

Теперь у нас есть константа, и мы можем ее использовать для нахождения максимальной длины сжатия пружины. Подставим в формулу:

\[ Эп = \text{const} \]

\[ \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} m \cdot 1^2 \]

\[ k x^2 = m \]

\[ x^2 = \frac{m}{k} \]

\[ x = \sqrt{\frac{m}{k}} \]

Таким образом, максимальная длина сжатия пружины равна \(\sqrt{\frac{m}{k}}\), где m - масса бруска, а k - коэффициент жесткости пружины.