Яка буде швидкість руху платформи після того, як куля масою 15 г і зі швидкістю 300 м/с влетіла в стоячий на платформі

Tainstvennyy_Orakul_7154

51

Щоб розв"язати цю задачу, спочатку розрахуємо, яка швидкість руху платформи після влету кулі в ящик. Для цього використовуємо закон збереження імпульсу.

Закон збереження імпульсу формулюється так: сума імпульсів системи тіл перед подією дорівнює сумі імпульсів після події.

Маса кулі $m_1=15$ г, а швидкість $v_1=300$ м/с.

Маса ящика з піском $m_2=50$ кг.

Нехай швидкість платформи після зіткнення буде $v_2$.

Використовуючи закон збереження імпульсу, отримуємо:
$$m_1\cdot v_1+m_2\cdot 0=(m_1+m_2)\cdot v_2$$
$$15\cdot 300+50\cdot 0=(15+50)\cdot v_2$$
$$4500=65\cdot v_2$$
$$v_2=\frac{4500}{65}\approx 69,23м/с$$

Тепер розрахуємо час, протягом якого платформа рухалася до повної зупинки зі швидкістю $v_2$ і пройшла відстань 1,8 м.

Використовуємо формулу руху зі сталою прискоренням $a$:
$$s=v_i\cdot t+\frac{1}{2}a\cdot t^2$$
Де $v_i$ - початкова швидкість, $s$ - відстань, $a$ - прискорення, $t$ - час.

Оскільки платформа зупинила рух, $v_f=0$.

Ми знаємо, що початкова швидкість $v_i=v_2=69,23$ м/с, відстань $s=1,8$ м і прискорення $a=-9,8$ м/с² (так як платформа сповільнюється).

Підставляючи ці значення в формулу руху, отримуємо:
$$1,8=69,23\cdot t+\frac{1}{2}\cdot (-9,8)\cdot t^2$$
$$0=-4,9\cdot t^2+69,23\cdot t-1,8$$

Це квадратне рівняння можна розв"язати за допомогою квадратного кореня або формули дискримінанту.

Дискримінант $D$ цього рівняння визначається так:
$$D=b^2-4ac$$
$$D=69,{23}^2-4\cdot (-4,9)\cdot (-1,8)$$
$$D\approx 8038,45$$

Розв"язавши рівняння для $t$ за допомогою формули дискримінанта, отримуємо два значення $t_1$ і $t_2$:
$$t=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$$

$$t=\frac{-69,23\pm \sqrt{8038,45}}{2\cdot (-4,9)}$$

Так як час не може бути від"ємним, ми використовуємо значення $t_2$:
$$t=\frac{-69,23+\sqrt{8038,45}}{-9,8}\approx 7,26с$$

Отже, швидкість руху платформи після зіткнення дорівнює 69,23 м/с, а платформа рухалася до повної зупинки протягом близько 7,26 с.