Яка буде швидкість руху платформи після того, як куля масою 15 г і зі швидкістю 300 м/с влетіла в стоячий на платформі

Tainstvennyy_Orakul_7154

51

Щоб розв"язати цю задачу, спочатку розрахуємо, яка швидкість руху платформи після влету кулі в ящик. Для цього використовуємо закон збереження імпульсу.

Закон збереження імпульсу формулюється так: сума імпульсів системи тіл перед подією дорівнює сумі імпульсів після події.

Маса кулі \(m_1 = 15\) г, а швидкість \(v_1 = 300\) м/с.

Маса ящика з піском \(m_2 = 50\) кг.

Нехай швидкість платформи після зіткнення буде \(v_2\).

Використовуючи закон збереження імпульсу, отримуємо:
\[m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot 0 = (m_1 + m_2) \cdot v_2\]
\[15 \cdot 300 + 50 \cdot 0 = (15 + 50) \cdot v_2\]
\[4500 = 65 \cdot v_2\]
\[v_2 = \frac{4500}{65} \approx 69,23\ м/с\]

Тепер розрахуємо час, протягом якого платформа рухалася до повної зупинки зі швидкістю \(v_2\) і пройшла відстань 1,8 м.

Використовуємо формулу руху зі сталою прискоренням \(a\):
\[s = v_i \cdot t + \frac{1}{2} a \cdot t^2\]
Де \(v_i\) - початкова швидкість, \(s\) - відстань, \(a\) - прискорення, \(t\) - час.

Оскільки платформа зупинила рух, \(v_f = 0\).

Ми знаємо, що початкова швидкість \(v_i = v_2 = 69,23\) м/с, відстань \(s = 1,8\) м і прискорення \(a = -9,8\) м/с² (так як платформа сповільнюється).

Підставляючи ці значення в формулу руху, отримуємо:
\[1,8 = 69,23 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot (-9,8) \cdot t^2\]
\[0 = -4,9 \cdot t^2 + 69,23 \cdot t - 1,8\]

Це квадратне рівняння можна розв"язати за допомогою квадратного кореня або формули дискримінанту.

Дискримінант \(D\) цього рівняння визначається так:
\[D = b^2 - 4ac\]
\[D = 69,23^2 - 4 \cdot (-4,9) \cdot (-1,8)\]
\[D \approx 8038,45\]

Розв"язавши рівняння для \(t\) за допомогою формули дискримінанта, отримуємо два значення \(t_1\) і \(t_2\):
\[t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

\[t = \frac{-69,23 \pm \sqrt{8038,45}}{2 \cdot (-4,9)}\]

Так як час не може бути від"ємним, ми використовуємо значення \(t_2\):
\[t = \frac{-69,23 + \sqrt{8038,45}}{-9,8} \approx 7,26\ с\]

Отже, швидкість руху платформи після зіткнення дорівнює 69,23 м/с, а платформа рухалася до повної зупинки протягом близько 7,26 с.