Какой должен быть радиус цилиндра с той же высотой, чтобы поверхность цилиндра совпадала по площади с поверхностью

Юрий

29

Чтобы определить радиус цилиндра, который имеет ту же высоту, что и усеченный конус, и при этом их поверхности имеют одинаковую площадь, нам нужно рассмотреть формулы для площади поверхности обоих фигур.

Площадь поверхности цилиндра вычисляется по формуле \(2\pi r_c h_c\), где \(r_c\) - радиус цилиндра, а \(h_c\) - его высота.

Площадь поверхности усеченного конуса может быть вычислена по формуле \(2\pi r_c l_t + \pi (r^2_t + r^2_c)\), где \(l_t\) - образующая усеченного конуса, \(r_t\) - радиус верхнего сечения усеченного конуса.

Таким образом, нам нужно найти такой радиус цилиндра \(r_c\), который обеспечивает равенство этих двух площадей.

Для начала обозначим высоту усеченного конуса как \(h_t\). Она должна быть такой же, что и высота цилиндра \(h_c\).

Учитывая это, мы можем установить равенство площадей поверхностей:

\[2\pi r_c h_c = 2\pi r_c l_t + \pi (r^2_t + r^2_c)\]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно \(r_c\).

Раскроем скобки и сократим подобные слагаемые:

\[2\pi r_c h_c = 2\pi r_c l_t + \pi r^2_t + \pi r^2_c\]

Определимся, какую из переменных мы хотим выразить через другие. Нам нужно найти радиус цилиндра \(r_c\), поэтому приравняем всё к нулю по \(r_c\):

\[2\pi r_c h_c - 2\pi r_c l_t - \pi r^2_c = \pi r^2_t\]

Просим TermAl помочь решить это уравнение относительно \(r_c\):