Какой должен быть ток в первом витке, чтобы магнитное поле в точке, находящейся на равном расстоянии от центров витков

Radio

67

Для решения этой задачи нам понадобятся формулы, связанные с магнитным полем витка провода.

Магнитное поле B в точке, находящейся на расстоянии r от центра кругового витка с током I, определяется формулой Био-Савара-Лапласа:

\[ dB = \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \cdot \frac{{I \cdot d\vec{l} \times \vec{r}}}{{r^3}} \]

Где:
- dB - элементарное магнитное поле, создаваемое элементарным участком провода d\vec{l}
- μ₀ - магнитная постоянная, равная приблизительно 4π × 10⁻⁷ T·м/А
- I - ток, протекающий через провод
- d\vec{l} - элементарный участок провода, направленный по его длине
- \vec{r} - радиус-вектор, направленный от элементарного участка провода до точки, в которой измеряется магнитное поле
- r - расстояние от центра витка до точки, в которой измеряется магнитное поле

Если магнитное поле в точке, находящейся на равном расстоянии от центров витков на их общей оси, должно стать нулевым, то суммарное магнитное поле от всех витков должно быть равно нулю.

\[ B = \sum_{i} dB_i = \sum_{i} \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \cdot \frac{{I_i \cdot d\vec{l_i} \times \vec{r_i}}}{{r_i^3}} = 0 \]

Так как рассматриваемые точки находятся на равном расстоянии от центров витков, то значения r для каждого витка будут одинаковыми. Можем вынести константы за знак суммы:

\[ \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \cdot \frac{1}{{r^3}} \sum_{i} I_i \cdot d\vec{l_i} \times \vec{r_i} = 0 \]

Как известно из математики, векторное произведение равно нулю только в случае, когда вектора параллельны или когда один из них равен нулю. Векторы \(d\vec{l_i}\) и \(\vec{r_i}\) направлены перпендикулярно друг другу (так как \(\vec{r_i}\) - радиус-вектор, направленный от элементарного участка провода до точки измерения, и \(d\vec{l_i}\) - элементарный участок провода, направленный по его длине), поэтому их векторное произведение будет равно нулю, если суммарный ток через элементарные участки провода равен нулю.

Таким образом, чтобы магнитное поле в точке, находящейся на равном расстоянии от центров витков, стало нулевым, суммарный ток через элементарные участки провода должен быть равен нулю:

\[ \sum_{i} I_i = 0 \]

Поэтому для определения тока в первом витке, необходимого для создания нулевого магнитного поля, нам необходимо установить соответствующие токи в остальных витках так, чтобы их сумма была равна нулю.