Какой главный период у функции f(x) = cos3xcos2x+sin2xsin3x?

Черепашка_Ниндзя

15

Чтобы определить главный период функции \( f(x) = \cos^3(x)\cos(2x) + \sin^2(x)\sin(3x) \), мы должны рассмотреть периоды каждой из функций, входящих в данное выражение.

Предлагаю посмотреть на функции по отдельности и определить их периоды.

1. Функция \( \cos^3(x) \) имеет период \( T_1 \). Напомним, что график функции \( \cos(x) \) повторяет свою форму через каждые \( 2\pi \) радиан. Если мы возведем \( \cos(x) \) в куб, то форма графика не изменится, а период останется тем же — \( 2\pi \) радиан. Таким образом, период функции \( \cos^3(x) \) также будет равен \( 2\pi \) радиан.

2. Функция \( \cos(2x) \) имеет период \( T_2 \). Здесь мы имеем дело с графиком функции \( \cos(x) \), но с удвоенной частотой. То есть, форма графика \( \cos(2x) \) повторяется через каждые \( \pi \) радиан. Следовательно, период функции \( \cos(2x) \) равен \( \pi \) радиан.

3. Функция \( \sin^2(x) \) имеет период \( T_3 \). Аналогично предыдущим случаям, график функции \( \sin(x) \) повторяется через \( 2\pi \) радиан. Если мы возведем \( \sin(x) \) в квадрат, период не изменится, и период \( \sin^2(x) \) также будет равен \( 2\pi \) радиан.

4. Функция \( \sin(3x) \) имеет период \( T_4 \). Так как угол внутри функции умножен на 3, период \( \sin(3x) \) будет равен \( \frac{2\pi}{3} \) радиан.

Теперь определим главный период функции \( f(x) \). Главный период равен наименьшему общему кратному периодов каждой из функций в выражении. В нашем случае:

\( T = \text{НОК}(T_1, T_2, T_3, T_4) \).

Давайте найдем НОК периодов \( T_1 \), \( T_2 \), \( T_3 \) и \( T_4 \):

\[
\begin{align*}
T &= \text{НОК}(2\pi, \pi, 2\pi, \frac{2\pi}{3}) \\
&= 2\pi
\end{align*}
\]

Таким образом, главный период функции \( f(x) = \cos^3(x)\cos(2x) + \sin^2(x)\sin(3x) \) равен \( 2\pi \) радиан.

Главный период определяет, через какой интервал \( x \) функция \( f(x) \) повторяет свои значения. Если \( x \) изменяется в пределах \( 2\pi \), то значения функции \( f(x) \) также будут повторяться.