На иллюстрации представлен график функции, которая определяется уравнением у=2х-х2. а) На координатной плоскости

Летающая_Жирафа_4788

39

Для начала, давайте приведем уравнение \(y = 2x - x^2\) в неравенстве к виду:

\[y - 2x + x^2 > 0\]

а) Чтобы показать область решений этого неравенства на координатной плоскости, мы должны найти точки графика функции \(y = 2x - x^2\), где \(y - 2x + x^2 = 0\) и определить, в каких областях неравенство выполнено (где \(y - 2x + x^2 > 0\)).

Для начала найдем точки пересечения графика с осью OX, где \(y = 0\):

\[0 - 2x + x^2 = 0\]

Факторизуем это уравнение:

\[x(1 - x) = 0\]

Отсюда мы получаем две точки: \(x = 0\) и \(x = 1\).

Теперь найдем значение функции \(y = 2x - x^2\) для каждой из этих точек:

Для \(x = 0\):

\[y = 2 \cdot 0 - 0^2 = 0\]

Для \(x = 1\):

\[y = 2 \cdot 1 - 1^2 = 1\]

Теперь нам нужно понять, в каких областях неравенство \(y - 2x + x^2 > 0\) выполняется.

Мы видим, что при \(x < 0\) и \(x > 1\), значение выражения \(y - 2x + x^2\) больше нуля. Это означает, что такие области лежат выше графика функции \(y = 2x - x^2\).

Таким образом, область решений неравенства представляет собой две ветви параболы, отрезки \((-\infty, 0)\) и \((1, +\infty)\).

б) Теперь, чтобы определить, какая точка принадлежит области решений неравенства \(y - 2x + x^2 > 0\) из пункта а), мы должны проверить, выполняется ли неравенство для каждой точки.

a) Точка А (3; 4):

Подставим координаты точки А в неравенство:

\[4 - 2 \cdot 3 + 3^2 = 4 - 6 + 9 = 7 > 0\]

Таким образом, точка А (3; 4) принадлежит области решений неравенства.

б) Точка В (-1; -5):

Подставим координаты точки В в неравенство:

\[-5 - 2 \cdot (-1) + (-1)^2 = -5 + 2 + 1 = -2 < 0\]

Таким образом, точка В (-1; -5) не принадлежит области решений неравенства.

Итак, из точек А (3; 4) и В (-1; -5) только точка А (3; 4) принадлежит области решений неравенства \(y - 2x + x^2 > 0\).