Какой импульс силы был передан спутнику массой 1 тонна, переходящему с орбиты радиусом r3 + h на орбиту радиусом

Алекс

62

Хорошо, давайте решим данную задачу.

Импульс силы, переданный спутнику, можно рассчитать с помощью закона сохранения импульса. По этому закону, изменение импульса равно силе, приложенной к телу, умноженной на время действия этой силы. Формула для расчета импульса выглядит следующим образом:

\[ \Delta P = F \cdot \Delta t \]

Для решения задачи нам необходимо выразить изменение импульса через массу спутника и изменение скорости спутника.

Чтобы выразить изменение скорости, воспользуемся законом сохранения энергии. По этому закону, изменение потенциальной энергии равно изменению кинетической энергии. Формула для изменения потенциальной энергии спутника на орбите радиусом \( r_3 + h \) и орбите радиусом \( r_3 + 2h \) выглядит следующим образом:

\[ \Delta U = \frac{GMm}{r_3 + h} - \frac{GMm}{r_3 + 2h} \]

где \( G \) - гравитационная постоянная, \( M \) - масса планеты, вокруг которой движется спутник, \( m \) - масса спутника.

Заметим, что изменение потенциальной энергии равно изменению кинетической энергии.
Формула для изменения кинетической энергии имеет вид:

\[ \Delta K = \frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{1}{2}mv_1^2 \]

где \( v_1 \) - скорость спутника на орбите радиусом \( r_3 + h \), \( v_2 \) - скорость спутника на орбите радиусом \( r_3 + 2h \).

Теперь мы можем приравнять изменение потенциальной энергии к изменению кинетической энергии:

\[ \frac{GMm}{r_3 + h} - \frac{GMm}{r_3 + 2h} = \frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{1}{2}mv_1^2 \]

Выражаем скорости \( v_1 \) и \( v_2 \) через радиусы орбит:

\[ v_1 = \sqrt{\frac{GM}{r_3 + h}} \]
\[ v_2 = \sqrt{\frac{GM}{r_3 + 2h}} \]

Подставляем значения скоростей в уравнение:

\[ \frac{GMm}{r_3 + h} - \frac{GMm}{r_3 + 2h} = \frac{1}{2}m\left(\sqrt{\frac{GM}{r_3 + 2h}}\right)^2 - \frac{1}{2}m\left(\sqrt{\frac{GM}{r_3 + h}}\right)^2 \]

Упрощаем уравнение:

\[ \frac{GMm}{r_3 + h} - \frac{GMm}{r_3 + 2h} = \frac{1}{2}m\left(\frac{GM}{r_3 + 2h}\right) - \frac{1}{2}m\left(\frac{GM}{r_3 + h}\right) \]

Сокращаем массу спутника:

\[ \frac{G}{r_3 + h} - \frac{G}{r_3 + 2h} = \frac{1}{2}\left(\frac{G}{r_3 + 2h} - \frac{G}{r_3 + h}\right) \]

Умножаем обе части уравнения на \( (r_3 + h)(r_3 + 2h) \), чтобы избавиться от знаменателей:

\[ G(r_3 + 2h) - G(r_3 + h) = \frac{1}{2}G(r_3 + h) - \frac{1}{2}G(r_3 + 2h) \]

Раскрываем скобки:

\[ Gr_3 + 2Gh - Gr_3 - Gh = \frac{1}{2}Gr_3 + \frac{1}{2}Gh - \frac{1}{2}Gr_3 - G2h \]

Упрощаем уравнение:

\[ G(h-2h) + 2Gh - Gh = \frac{1}{2}Gh - G2h \]

\[ 2Gh - Gh = \frac{1}{2}Gh - G2h \]

\[ Gh = \frac{1}{2}Gh - G2h \]

Выражаем импульс силы:

\[ \Delta P = -Gh \]

Таким образом, импульс силы, переданный спутнику, равен \( -Gh \). Отрицательный знак говорит о том, что импульс направлен в противоположную сторону движения спутника.
В реальности, данный импульс обозначает изменение орбиты спутника под воздействием гравитационного поля других тел, таких как планета, на которой находится спутник.