1. Нарисуйте график функции у = х2-6х+3 и выясните следующее по графику: а) корни функции; б) интервалы, на которых

Sherlok

45

Хорошо! Давайте решим эти задачи по порядку.

1. Начнем с задачи о графике функции \(y = x^2 - 6x + 3\) и найдем следующую информацию:

а) Чтобы найти корни функции, мы должны найти значения x, при которых y равно нулю. Для этого мы решим уравнение \(x^2 - 6x + 3 = 0\). Мы можем использовать квадратное уравнение или использовать формулу дискриминанта, и в данном случае мы воспользуемся формулой дискриминанта. Формула дискриминанта выглядит следующим образом: \(D = b^2 - 4ac\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\). Для уравнения \(x^2 - 6x + 3 = 0\), у нас \(a = 1\), \(b = -6\) и \(c = 3\). Вычислим дискриминант:

\[D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 36 - 12 = 24\]

Дискриминант равен 24.

Если \(D > 0\), то уравнение имеет два различных корня.
Если \(D = 0\), то уравнение имеет один корень.
Если \(D < 0\), то уравнение не имеет действительных корней.

Так как наш дискриминант равен 24 и больше нуля, у нас есть два различных корня.
Для того, чтобы найти корни уравнения, мы можем использовать формулу:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

Подставляя значения из уравнения \(x^2 - 6x + 3 = 0\), мы получим:

\[x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{24}}{2} = 3 \pm \sqrt{6}\]

Получаем два корня: \(x_1 = 3 + \sqrt{6}\) и \(x_2 = 3 - \sqrt{6}\). Это и есть корни функции.

б) Теперь давайте найдем интервалы, на которых \(y\) больше 0 и меньше 0. Чтобы это сделать, нам нужно узнать, где функция \(y\) пересекает ось \(x\) (т.е. где \(y = 0\)). Мы уже нашли, что у нас два корня для этой функции: \(x_1 = 3 + \sqrt{6}\) и \(x_2 = 3 - \sqrt{6}\). Значит, функция \(y\) меняет знак между этими двумя корнями.

Давайте посмотрим на знаки \(y\) для нескольких точек в каждом из интервалов:
- Для \(x < 3 - \sqrt{6}\) (например, \(x = 2\)), \(y = (2)^2 - 6(2) + 3 = -3\), т.е. \(y < 0\).
- Для \(3 - \sqrt{6} < x < 3 + \sqrt{6}\) (например, \(x = 3\)), \(y = (3)^2 - 6(3) + 3 = 0\), т.е. \(y = 0\).
- Для \(x > 3 + \sqrt{6}\) (например, \(x = 4\)), \(y = (4)^2 - 6(4) + 3 = 1\), т.е. \(y > 0\).

Следовательно, на интервале \((-\infty, 3-\sqrt{6})\) функция \(y\) отрицательна, на интервале \((3-\sqrt{6}, 3+\sqrt{6})\) она равна нулю, а на интервале \((3+\sqrt{6}, +\infty)\) функция \(y\) положительна.

в) Чтобы понять, на каких интервалах функция возрастает или убывает, нам нужно проанализировать знак производной функции. Если производная больше нуля, функция возрастает, если меньше нуля, функция убывает.
Производная функции \(y = x^2 - 6x + 3\) равна \(y" = 2x - 6\).
Решим уравнение \(2x - 6 = 0\):

\[2x = 6 \Rightarrow x = 3\]

Получаем, что производная равна нулю при \(x = 3\).

Теперь посмотрим на знак производной при \(x < 3\) (например, \(x = 2\)): \(2(2) - 6 = -2 < 0\), т.е. функция убывает.
При \(x > 3\) (например, \(x = 4\)): \(2(4) - 6 = 2 > 0\), т.е. функция возрастает.

Таким образом, функция \(y = x^2 - 6x + 3\) убывает на интервале \((-\infty, 3)\) и возрастает на интервале \((3, +\infty)\).

г) Чтобы найти наименьшее значение функции, мы должны найти вершину параболы. Формула для координат вершины параболы имеет вид: \(x = -\frac{b}{2a}\) и \(y = f(x)\) (где \(f(x)\) - значение функции при \(x\)). В нашем случае, \(a = 1\), \(b = -6\), и \(c = 3\). Подставим значения:

\[x = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3\]
\[y = (3)^2 - 6(3) + 3 = 9 - 18 + 3 = -6\]

Таким образом, наименьшее значение функции равно -6.

2. Перейдём к задаче о диапазоне значений функции \(y = -x^2 - 8x + 1\). Диапазон значений - это все возможные значения, которые может принимать функция \(y\).

Для параболы с отрицательным коэффициентом при \(x^2\), вершина будет находиться внизу. Найдем координаты вершины, чтобы понять, какие значения \(y\) можно получить.

Используем формулу для координат вершины параболы: \(x = -\frac{b}{2a}\) и \(y = f(x)\). В нашем случае \(a = -1\), \(b = -8\), и \(c = 1\). Подставим значения:

\[x = -\frac{-8}{2 \cdot -1} = \frac{8}{2} = 4\]
\[y = -(4)^2 - 8(4) + 1 = -16 - 32 + 1 = -47\]

Координаты вершины параболы - это (4, -47).

Так как у нас есть парабола, которая открывается вниз, наименьшее значение функции -47. В результате можем сказать, что диапазон значений функции \(y = -x^2 - 8x + 1\) это \((-\infty, -47]\).

3. Теперь решим задачу о нахождении координат точек пересечения параболы \(y = \frac{1}{4}x^2\) и прямой \(y = 5x - 16\).

Чтобы найти точку пересечения, мы должны найти значения \(x\), при которых \(y\) параболы равно \(y\) прямой.
Подставим уравнения параболы и прямой друг в друга:

\[\frac{1}{4}x^2 = 5x - 16\]

Перенесём все в одну часть уравнения:

\[\frac{1}{4}x^2 - 5x + 16 = 0\]

Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать квадратное уравнение или формулу дискриминанта. Используем здесь формулу дискриминанта. Формула дискриминанта выглядит следующим образом: \(D = b^2 - 4ac\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\). В нашем случае \(a = \frac{1}{4}\), \(b = -5\), и \(c = 16\). Вычислим дискриминант:

\[D = (-5)^2 - 4 \cdot \frac{1}{4} \cdot 16 = 25 - 16 = 9\]

Дискриминант равен 9.

Если \(D > 0\), то уравнение имеет два различных корня.
Если \(D = 0\), то уравнение имеет один корень.
Если \(D < 0\), то уравнение не имеет действительных корней.

Так как наш дискриминант равен 9 и больше нуля, у нас есть два различных корня.
Для того, чтобы найти корни уравнения, мы можем использовать формулу:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

Подставляя значения из уравнения \(\frac{1}{4}x^2 - 5x + 16 = 0\), мы получим:

\[x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot \frac{1}{4}} = \frac {5 \pm 3}{\frac{1}{2}} = 10 \pm 6\]

Получаем два корня: \(x_1 = 10 + 6 = 16\) и \(x_2 = 10 - 6 = 4\).

Теперь найдем соответствующие значения \(y\) для каждого из найденных \(x\):
- При \(x = 16\), \(y = \frac{1}{4}(16)^2 = 16\).
- При \(x = 4\), \(y = \frac{1}{4}(4)^2 = 1\).

Таким образом, точки пересечения параболы и прямой - это (16, 16) и (4, 1).

4. Последняя задача состоит в построении графика функции \(y = 2 - (x + 3)^2\) на основе шаблона параболы \(y = x^2\).

Зная исходную функцию \(y = 2 - (x + 3)^2\), мы можем использовать шаблон параболы \(y = x^2\) и провести некоторые изменения. Чтобы построить график, мы нужны координаты вершины параболы и значения функции в некоторых других точках.

Начнем с параболы \(y = x^2\). У нее вершина находится в точке (0, 0).

Чтобы сместить параболу влево на 3 единицы по оси x, мы должны заменить \(x\) на \(x + 3\). Таким образом, функция будет выглядеть следующим образом: \(y = (x + 3)^2\).

Но у нас есть дополнительная операция, которая отнимает всю параболу от 2. Чтобы провести это изменение, мы должны вычесть \(y\) на \(2\). Таким образом, окончательная функция будет выглядеть следующим образом: \(y = 2 - (x + 3)^2\).

Используя эти информацию и другие известные нам точки, мы можем построить график параболы \(y = 2 - (x + 3)^2\). График будет выглядеть подобным образом:
.

Надеюсь, эта информация помогла вам! Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.