Какой косинус угла между векторами b=6m+n и c=m-3n, если m является вектором, перпендикулярным n, и длины векторов

Коко

21

Чтобы найти косинус угла между векторами \(b\) и \(c\), нам понадобится использовать скалярное произведение векторов. Для начала определим вектор \(m\) и вектор \(n\).

По условию задачи, вектор \(m\) является вектором, перпендикулярным вектору \(n\). Это означает, что вектор \(m\) и вектор \(n\) будут перпендикулярными друг другу, и их скалярное произведение будет равно нулю.

Можем записать это как:
\[m \cdot n = 0\]

Теперь, чтобы найти косинус угла между векторами \(b\) и \(c\), воспользуемся формулой для скалярного произведения векторов:
\[b \cdot c = \|b\| \|c\| \cos(\theta)\]

Где \(\|b\|\) и \(\|c\|\) - длины векторов \(b\) и \(c\), а \(\theta\) - искомый угол между ними.

Длина вектора \(b\) равна:
\[\|b\| = \sqrt{6^2 + 1^2} = \sqrt{37}\]

Длина вектора \(c\) равна:
\[\|c\| = \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \sqrt{10}\]

Заметим также, что векторы \(b\) и \(c\) заданы в виде линейной комбинации векторов \(m\) и \(n\). Мы можем использовать это, чтобы выразить их через единичные базисные векторы \(\mathbf{i}\) и \(\mathbf{j}\).

Вектор \(b\) можно записать как:
\[b = 6\mathbf{i} + \mathbf{j}\]

Вектор \(c\) можно записать как:
\[c = \mathbf{i} - 3\mathbf{j}\]

Теперь запишем скалярное произведение:
\[b \cdot c = (6\mathbf{i} + \mathbf{j}) \cdot (\mathbf{i} - 3\mathbf{j})\]

Пользуясь свойствами скалярного произведения (билинейностью и дистрибутивностью), получим:
\[b \cdot c = 6 \cdot \mathbf{i} \cdot \mathbf{i} + 6 \cdot \mathbf{i} \cdot (-3\mathbf{j}) + \mathbf{j} \cdot \mathbf{i} + \mathbf{j} \cdot (-3\mathbf{j})\]

Так как \(\mathbf{i} \cdot \mathbf{i} = 1\) и \(\mathbf{j} \cdot \mathbf{j} = 1\), а \(\mathbf{i} \cdot \mathbf{j} = 0\) (так как векторы \(m\) и \(n\) перпендикулярны), мы можем упростить выражение:
\[b \cdot c = 6 + 0 + 0 + (-3) = 3\]

Теперь можем записать формулу для косинуса угла \(\theta\):
\[3 = \sqrt{37} \cdot \sqrt{10} \cdot \cos(\theta)\]

Разделим обе части уравнения на \(\sqrt{37} \cdot \sqrt{10}\) и найдем косинус угла \(\theta\):
\[\cos(\theta) = \frac{3}{\sqrt{37} \cdot \sqrt{10}}\]

Подставляя численные значения, получим:
\[\cos(\theta) = \frac{3}{\sqrt{37 \cdot 10}}\]

Таким образом, косинус угла между векторами \(b\) и \(c\) равен \(\frac{3}{\sqrt{370}}\).