Какая пара чисел удовлетворяет системе уравнений х^2— y^2 = 15 и ху — у = -3? (-4; 1) (4; -1) (1;-4) (-1

Единорог

33

Для решения системы уравнений, нам нужно найти значения переменных \(x\) и \(y\), которые удовлетворяют обоим уравнениям одновременно.

Данная система уравнений выглядит следующим образом:

\[
\begin{align*}
x^2 - y^2 &= 15 \\
xy - y &= -3 \\
\end{align*}
\]

Давайте решим эту систему пошагово.

Шаг 1: Решение первого уравнения

Имеем уравнение \(x^2 - y^2 = 15\). Мы можем заметить, что данное уравнение представляет разность квадратов. Мы можем его факторизовать следующим образом:

\[
(x + y)(x - y) = 15
\]

Теперь у нас есть два варианта значения \(x + y\) и \(x - y\), которые могут удовлетворять данному уравнению:

Вариант 1:
\(x + y = 15\) и \(x - y = 1\)

Вариант 2:
\(x + y = -15\) и \(x - y = -1\)

Шаг 2: Решение второго уравнения

Имеем уравнение \(xy - y = -3\). Мы можем выделить \(y\) в последних двух членах:

\[
y(x - 1) = -3
\]

Теперь у нас есть два возможных значения \(y\):

Вариант 1:
\(y = -3\), \(x - 1 = 1\) (\(x = 2\))

Вариант 2:
\(y = -1\), \(x - 1 = 3\) (\(x = 4\))

Шаг 3: Проверка найденных значений

Подставим найденные значения \(x\) и \(y\) обратно в исходные уравнения, чтобы проверить их подходят ли они:

Проверка для первого варианта:
\[
\begin{align*}
x^2 - y^2 &= 15 \\
2^2 - (-3)^2 &\stackrel{?}{=} 15 \\
4 - 9 &\stackrel{?}{=} 15 \\
-5 &\neq 15
\end{align*}
\]

Проверка для второго варианта:
\[
\begin{align*}
x^2 - y^2 &= 15 \\
4^2 - (-1)^2 &\stackrel{?}{=} 15 \\
16 - 1 &\stackrel{?}{=} 15 \\
15 &= 15
\end{align*}
\]

Видим, что только второй вариант удовлетворяет обоим уравнениям.

Ответ: Пара чисел, которая удовлетворяет данной системе уравнений, это \((4; -1)\).