Какой квадратный трёхчлен можно придумать таким образом, чтобы между его корнями находилось ровно 77 натуральных чисел?

Ярус

63

Чтобы ответ на задачу был полностью понятен школьнику, давайте рассмотрим ее пошагово.

Мы знаем, что квадратный трехчлен имеет общий вид \(ax^2 + bx + c\), где \(a\), \(b\), и \(c\) - коэффициенты, причем \(a \neq 0\).

Для него существуют различные методы нахождения корней. В данной задаче нам интересно найти такой квадратный трехчлен, у которого разность между его корнями равна 77.

Процесс решения задачи выглядит следующим образом:

1. Задаем общий вид квадратного трехчлена: \(ax^2 + bx + c\).
2. Находим формулу для вычисления корней, известную как формула дискриминанта. По этой формуле, корни можно найти с помощью следующих выражений:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\]

\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}\]

где \(\sqrt{D}\) - квадратный корень из дискриминанта \(D\), который равен \(b^2 - 4ac\).

3. Находим разность между корнями, подставляя найденные значения в формулу:

\[x_2 - x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} - \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\]

\[x_2 - x_1 = \frac{-b - \sqrt{D} + b + \sqrt{D}}{2a}\]

\[x_2 - x_1 = \frac{2\sqrt{D}}{2a}\]

\[x_2 - x_1 = \frac{\sqrt{D}}{a}\]

4. В данной задаче нам необходимо, чтобы разность между корнями была равна 77. Значит,

\[x_2 - x_1 = 77\]

5. Подставляем полученное равенство в предыдущее:

\[77 = \frac{\sqrt{D}}{a}\]

6. Возведем обе части уравнения в квадрат:

\[77^2 = \left(\frac{\sqrt{D}}{a}\right)^2\]

\[5929 = \frac{D}{a^2}\]

7. У нас есть еще одно ограничение - дискриминант \(D\) не должен быть отрицательным, чтобы иметь вещественные корни. Рассмотрим случай, когда \(D\) равно нулю:

\[5929 = \frac{0}{a^2}\]

Заметим, что в этом случае не получится найти действительные корни.

8. Теперь рассмотрим случай, когда \(D\) не равно нулю:

\[5929 = \frac{D}{a^2}\]

Поскольку \(D\) является положительным числом, а \(a^2\) неотрицательным числом, нам нужно найти такие значения \(D\) и \(a^2\), чтобы их отношение было равно 5929.

Например, можно выбрать \(D = 5929\) и \(a^2 = 1\). Тогда получим:

\[5929 = \frac{5929}{1}\]

В этом случае мы получим самый простой квадратный трехчлен \(x^2 + bx + c\), у которого разность между корнями равна 77. Решая его дальше, получим:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{5929}}{2}\]

\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{5929}}{2}\]

Между этими корнями находится ровно 77 натуральных чисел.

Таким образом, можно придумать квадратный трехчлен \(x^2 + bx + c\), где \(b\) и \(c\) будут зависеть от выбранных значений \(D\) и \(a^2\), чтобы между его корнями находилось ровно 77 натуральных чисел.