Какой максимальный угол α, при котором лестница, прислоненная к гладкой вертикальной стене, не будет скользить, если

Dzhek

58

Для решения данной задачи, нам нужно рассмотреть равновесие лестницы. Когда лестница находится в состоянии равновесия, момент силы трения, действующей на нее, должен быть равен моменту силы тяжести.

Рассмотрим силы, действующие на лестницу. Ее масса оказывает воздействие только на ее центр массы, которая расположена в середине лестницы. Из-за симметрии системы, сумма вертикальных составляющих сил должна быть равна нулю.

Но на лестницу также действует горизонтальная сила трения между полом и ее нижней опорой. Эта сила может быть представлена в виде произведения коэффициента трения \( \mu \) на нормальную силу \( N \) (сила, перпендикулярная поверхности пола).

Максимальная нормальная сила \( N_{\max} \) достигается, когда лестница находится на грани скольжения. Она равна произведению массы лестницы \( m \) на ускорение свободного падения \( g \), то есть \( N_{\max} = mg \).

Теперь можем записать условие равновесия моментов:
\[ N_{\max} \cdot l \cdot \sin(\alpha) = mg \cdot \frac{l}{2} \cdot \cos(\alpha) \]

Здесь \( l \) - длина лестницы. Учитывая, что \( N_{\max} = mg \), можем записать:
\[ mg \cdot l \cdot \sin(\alpha) = mg \cdot \frac{l}{2} \cdot \cos(\alpha) \]

Исключая общие члены, получим:
\[ 2 \sin(\alpha) = \cos(\alpha) \]

Теперь найдем значение угла \( \alpha \).

\[ 2 \sin(\alpha) = \cos(\alpha) \]
\[ 2 \tan(\alpha) = 1 \]
\[ \tan(\alpha) = \frac{1}{2} \]
\[ \alpha = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) \]

Таким образом, максимальный угол \( \alpha \) при котором лестница не будет скользить, равен примерно 26.6 градусов.