Какой объем имеет цилиндр, который описывает вокруг прямоугольной призмы, основанием которой является прямоугольный

Ignat

24

Чтобы решить эту задачу, мы должны разделить наше решение на две части: определение высоты прямоугольной призмы и определение объема цилиндра, который описывает ее.

Первым делом определим высоту прямоугольной призмы. Мы знаем, что основанием призмы является прямоугольный треугольник с катетами 1 и 10. Площадь такого треугольника можно найти по формуле:

\[Площадь = \frac{1}{2} \times a \times b\]

где \(a\) и \(b\) - длины катетов. Подставляя известные значения, получаем:

\[Площадь = \frac{1}{2} \times 1 \times 10 = 5\]

Зная площадь основания призмы, мы можем найти ее высоту, используя формулу:

\[Объем = Площадь \times Высота\]

Известно, что боковые ребра призмы равны \(\frac{6}{\pi}\). Поскольку боковые ребра призмы являются высотой цилиндра, мы можем сказать, что высота призмы равна \(\frac{6}{\pi}\).

Теперь найдем объем цилиндра, который описывает призму. Объем цилиндра можно найти по формуле:

\[Объем = \pi \times Радиус^2 \times Высота\]

Поскольку цилиндр описывает призму, радиус цилиндра будет равен половине длины основания призмы. Так как у нас прямоугольный треугольник, радиус будет равен половине гипотенузы.

Гипотенуза прямоугольного треугольника может быть найдена с использованием теоремы Пифагора:

\[Гипотенуза = \sqrt{a^2 + b^2}\]

Подставляя известные значения, получаем:

\[Гипотенуза = \sqrt{1^2 + 10^2} = \sqrt{1 + 100} = \sqrt{101}\]

Затем, найдем радиус цилиндра:

\[Радиус = \frac{\text{Гипотенуза}}{2} = \frac{\sqrt{101}}{2}\]

Теперь мы можем найти объем цилиндра, подставив известные значения в формулу объема:

\[Объем = \pi \times \left(\frac{\sqrt{101}}{2}\right)^2 \times \frac{6}{\pi} = \frac{3}{4} \times \sqrt{101} \times 6\]

Таким образом, объем цилиндра, который описывает вокруг данной прямоугольной призмы, равен \(\frac{3}{4} \times 6 \times \sqrt{101}\), или примерно \(13.29\).