Какой объем получается при вращении прямоугольного треугольника вокруг катета, если его гипотенуза равна 6 см, а острый

Жемчуг

31

Чтобы решить эту задачу, мы можем применить формулу для объема тела вращения. Объем тела вращения получается путем вращения некоторой фигуры вокруг оси. В данном случае, у нас есть прямоугольный треугольник, который вращается вокруг одного из его катетов.

Вначале нам нужно найти длину катета. Известно, что гипотенуза равна 6 см, а угол между гипотенузой и катетом составляет 45 градусов. Мы можем использовать тригонометрические соотношения для нахождения длины катета.

Катет равен произведению гипотенузы на синус угла между гипотенузой и катетом. В нашем случае:

\[Катет = Гипотенуза \times \sin(45^\circ)\]

Подставляя значения, получаем:

\[Катет = 6 \, см \times \sin(45^\circ)\]

Мы можем упростить это выражение. Значение синуса 45 градусов составляет \( \frac{\sqrt{2}}{2} \), поэтому:

\[Катет = 6 \, см \times \frac{\sqrt{2}}{2}\]

Решаем эту операцию:

\[Катет = 3\sqrt{2} \, см\]

Теперь, найдя длину катета, мы можем перейти к расчету объема вращаемого тела. Формула объема вращения прямоугольного треугольника вокруг катета выглядит следующим образом:

\[Объем = \frac{1}{2} \times \pi \times Катет^2 \times Гипотенуза\]

Подставляя значения, получаем:

\[Объем = \frac{1}{2} \times \pi \times (3\sqrt{2} \, см)^2 \times 6 \, см\]

Теперь выполняем вычисления:

\[Объем = \frac{1}{2} \times \pi \times 18 \, см^2 \times 6 \, см\]

\[Объем = 54 \pi \, см^3\]

Таким образом, объем получаемый при вращении прямоугольного треугольника вокруг катета составляет \(54\pi\) кубических сантиметра.