Какой объем полученного тела вращения, если фигура, ограниченная прямыми у = - х + 3, х = 0, х = 3, у = 0, вращается

Валера_1170

42

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать метод образования тела вращения, а именно – метод цилиндра образующей.

Сначала рассмотрим заданную фигуру, ограниченную прямыми: \(у = -х + 3\), \(х = 0\), \(х = 3\) и \(у = 0\).

Графически эта фигура представляет собой треугольник, заключенный между осью абсцисс и прямыми \(у = -х + 3\) и \(х = 3\).

Задача состоит в том, чтобы найти объем тела, которое образуется при вращении этого треугольника вокруг оси абсцисс.

Для этого мы будем использовать следующую формулу объема цилиндра:

\[V = \pi \cdot R^2 \cdot h\]

Где \(R\) - радиус цилиндра, который является расстоянием от оси вращения до любой точки фигуры, и \(h\) - высота цилиндра, которая равна ширине фигуры.

Найдем радиус \(R\). Радиус равен расстоянию от оси вращения до точки, лежащей на прямой \(y = -x + 3\). Для этого найдем точку пересечения этой прямой с осью абсцисс, подставив \(y = 0\) в уравнение прямой:

\[0 = -x + 3\]

\[x = 3\]

Таким образом, радиус \(R = 3\).

Теперь найдем высоту \(h\). Высота равна расстоянию между прямыми \(y = -x + 3\) и \(x = 0\).

Видим, что \(y = -x + 3\) и \(x = 0\) пересекаются при \(y = 3\).

Таким образом, высота \(h = 3\).

Подставляя значения радиуса и высоты в формулу объема цилиндра, получаем:

\[V = \pi \cdot 3^2 \cdot 3 = 27\pi\]

Таким образом, объем полученного тела вращения равен \(27\pi\) кубических единиц.

\[V = 27\pi\]