Какой период вращения стержня необходим, чтобы пружина, жесткость которой равна 300 н/м, растянулась на 1/4 своей

Лёха

41

Для решения данной задачи мы можем использовать законы гармонических колебаний. Данный груз на пружине будет колебаться вокруг оси центробежной машины.

Период вращения стержня можно найти с использованием формулы:

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{k}}\]

Где T - период вращения, I - момент инерции системы, k - жесткость пружины.

Момент инерции стержня можно выразить через его массу и расстояние между осью вращения и центром масс.

\[I = \frac{1}{3}ml^2\]

Где m - масса груза, l - расстояние от оси вращения до центра масс груза.

Для нахождения расстояния l мы используем геометрические соображения. Поскольку груз укреплен перпендикулярно оси центробежной машины, то он будет располагаться на расстоянии равном половине длины пружины, учитывая деформацию пружины.

\[l = \frac{1}{2}x\]

Где x - деформация пружины, которая равна 1/4 своей первоначальной длины.

Теперь, когда у нас есть все необходимые значения, мы можем решить задачу.

1. Найдем расстояние l:
\[l = \frac{1}{2} \times x = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} \times L_0 = \frac{1}{8}L_0\]

Где L_0 - первоначальная длина пружины.

2. Теперь найдем момент инерции I:
\[I = \frac{1}{3} \times m \times l^2 = \frac{1}{3} \times 0.1 \times \left(\frac{1}{8}L_0\right)^2 = \frac{1}{3} \times 0.1 \times \left(\frac{1}{64}L_0^2\right) = \frac{L_0^2}{1920}\]

3. Подставим значения в формулу периода вращения T:
\[T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{L_0^2}{1920}}{300}} = 2\pi \sqrt{\frac{L_0^2}{1920} \times \frac{1}{300}} = 2\pi \sqrt{\frac{L_0^2}{1920 \times 300}} = 2\pi \sqrt{\frac{L_0^2}{576000}} = 2\pi \frac{L_0}{240 \sqrt{10}} = \frac{\pi \cdot L_0}{120\sqrt{10}}\]

Таким образом, период вращения стержня, который позволит пружине растянуться на 1/4 своей первоначальной длины, составляет \(\frac{\pi \cdot L_0}{120\sqrt{10}}\), где \(L_0\) - первоначальная длина пружины.