Какой период вращения стержня необходим, чтобы пружина, жесткость которой равна 300 н/м, растянулась на 1/4 своей

Лёха

41

Для решения данной задачи мы можем использовать законы гармонических колебаний. Данный груз на пружине будет колебаться вокруг оси центробежной машины.

Период вращения стержня можно найти с использованием формулы:

$$T=2\pi \sqrt{\frac{I}{k}}$$

Где T - период вращения, I - момент инерции системы, k - жесткость пружины.

Момент инерции стержня можно выразить через его массу и расстояние между осью вращения и центром масс.

$$I=\frac{1}{3}m{l}^2$$

Где m - масса груза, l - расстояние от оси вращения до центра масс груза.

Для нахождения расстояния l мы используем геометрические соображения. Поскольку груз укреплен перпендикулярно оси центробежной машины, то он будет располагаться на расстоянии равном половине длины пружины, учитывая деформацию пружины.

$$l=\frac{1}{2}x$$

Где x - деформация пружины, которая равна 1/4 своей первоначальной длины.

Теперь, когда у нас есть все необходимые значения, мы можем решить задачу.

1. Найдем расстояние l:
$$l=\frac{1}{2}\times x=\frac{1}{2}\times \frac{1}{4}\times L_0=\frac{1}{8}{L}_0$$

Где L_0 - первоначальная длина пружины.

2. Теперь найдем момент инерции I:
$$I=\frac{1}{3}\times m\times l^2=\frac{1}{3}\times 0.1\times {\left(\frac{1}{8}{L}_0\right)}^2=\frac{1}{3}\times 0.1\times \left(\frac{1}{64}{L}_0^2\right)=\frac{L_0^2}{1920}$$

3. Подставим значения в формулу периода вращения T:
$$T=2\pi \sqrt{\frac{I}{k}}=2\pi \sqrt{\frac{\frac{L_0^2}{1920}}{300}}=2\pi \sqrt{\frac{L_0^2}{1920}\times \frac{1}{300}}=2\pi \sqrt{\frac{L_0^2}{1920\times 300}}=2\pi \sqrt{\frac{L_0^2}{576000}}=2\pi \frac{L_0}{240\sqrt{10}}=\frac{\pi \cdot L_0}{120\sqrt{10}}$$

Таким образом, период вращения стержня, который позволит пружине растянуться на 1/4 своей первоначальной длины, составляет $\frac{\pi \cdot L_0}{120\sqrt{10}}$, где $L_0$ - первоначальная длина пружины.