Какой путь пройдет ястреб за первые 3 секунды движения и в третью секунду, если его скорость изменяется по закону

Solnechnyy_Pirog

64

Для решения данной задачи нам необходимо определить путь, пройденный ястребом за первые 3 секунды его движения, а также его путь к концу третьей секунды. Для этого мы будем использовать определение пути как интеграл от функции скорости по времени.

Итак, у нас дано, что функция скорости ястреба задается выражением \(v(t) = 5t^4 - 8t\) (м/с). Чтобы найти путь, пройденный ястребом, нам нужно проинтегрировать данную функцию скорости от начального момента времени \(t = 0\) до конечного момента времени \(t = 3\).

Таким образом, путь \(s\) будет равен интегралу от \(v(t)\) по времени:

\[
s = \int_{0}^{3} (5t^4 - 8t) dt
\]

Давайте посчитаем этот интеграл:

\[
s = \left[\frac{5}{5} \cdot \frac{t^5}{5} - \frac{8}{2} \cdot \frac{t^2}{2}\right]_{0}^{3} = \left[\frac{t^5}{5} - 4t^2\right]_{0}^{3}
\]

Теперь подставим конечное значение времени \(t = 3\) и вычитаем значение при \(t = 0\):

\[
s = \left(\frac{3^5}{5} - 4 \cdot 3^2\right) - \left(\frac{0^5}{5} - 4 \cdot 0^2\right) = \left(\frac{243}{5} - 36\right) - (0 - 0) = \frac{243}{5} - 36 = \frac{243 - 180}{5} = \frac{63}{5} \approx 12.6 \text{ метров}
\]

Таким образом, ястреб проходит примерно 12.6 метров за первые 3 секунды своего движения.

Чтобы определить путь ястреба к концу третьей секунды, нам нужно найти значение пути при \(t = 3\). Для этого мы будем использовать равенство \(s = \frac{t^5}{5} - 4t^2\), где \(t = 3\):

\[
s = \frac{3^5}{5} - 4 \cdot 3^2 = \frac{243}{5} - 36 = \frac{243 - 180}{5} = \frac{63}{5} \approx 12.6 \text{ метров}
\]

Таким образом, путь ястреба к концу третьей секунды составляет примерно 12.6 метров.

Округлив ответы до одной десятой, мы получаем, что путь ястреба за первые 3 секунды движения составляет примерно 12.6 метров, а путь к концу третьей секунды также составляет примерно 12.6 метров.