Какой радиус имеет окружность вписанная в равнобедренный треугольник, треугольник имеет основание равное 3 и высоту

Мария

64

Чтобы найти радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, нам понадобятся знания о свойствах равнобедренных треугольников и о вписанных окружностях.

Давайте взглянем на решение этой задачи шаг за шагом.

1. Равнобедренный треугольник имеет две равные стороны и два равных угла, которые находятся напротив этих сторон. В нашем случае, основание треугольника равно 3.

2. Также, известно, что основание треугольника равно диаметру вписанной окружности. Поскольку диаметр это двойной радиус, мы можем сказать, что диаметр окружности равен 2R, где R - радиус окружности.

3. Из геометрических свойств равнобедренных треугольников следует, что высота, опущенная на основание, также является биссектрисой, медианой и высотой. Более того, треугольник, образованный высотой и радиусом окружности, является прямоугольным.

4. Найдем высоту треугольника. Из свойств прямоугольного треугольника, мы знаем, что высота делит основание на две равные части. Поэтому, основание будет разделено на две равные половины, по \( \frac{3}{2} \).

5. Теперь у нас есть величина диаметра и высоты прямоугольного треугольника. Мы можем применить теорему Пифагора, чтобы найти длину радиуса окружности.

Уравнение теоремы Пифагора имеет вид:
\[ r^2 + (\frac{3}{4})^2 = (\frac{3}{2})^2 \]

Раскроем скобки и упростим уравнение:
\[ r^2 + \frac{9}{16} = \frac{9}{4} \]
\[ r^2 = \frac{9}{4} - \frac{9}{16} \]
\[ r^2 = \frac{9 \cdot 4 - 9}{4 \cdot 16} \]
\[ r^2 = \frac{27}{16} \]

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон:
\[ r = \sqrt{\frac{27}{16}} = \frac{\sqrt{27}}{\sqrt{16}} = \frac{3\sqrt{3}}{4} \]

Таким образом, радиус вписанной окружности равен \( \frac{3\sqrt{3}}{4} \).

Надеюсь, этот пошаговый подход помог вам понять задачу и получить желаемый ответ. Если остались дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!