Какой радиус шара, в котором находится точечный заряд q = -2,1.10-8 Кл, состоящий из однородного изотропного

Михаил

25

Для того чтобы решить данную задачу, необходимо использовать закон Кулона и определить радиус шара, в котором находится точечный заряд q.

Закон Кулона гласит:
\[ F = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q_1 \cdot q_2}{r^2} \]

Где F - сила взаимодействия между зарядами, \( q_1 \) и \( q_2 \) - заряды, r - расстояние между зарядами, а \( \varepsilon_0 \) - электрическая постоянная.

Заряд \( q \) является точечным зарядом, поэтому можно сказать, что расстояние \( r \) равно радиусу \( R \) шара, в котором он находится.

Согласно данной задаче, заряд находится в однородном изотропном диэлектрике с диэлектрической проницаемостью \( \varepsilon \).

Электрическая постоянная связана с диэлектрической проницаемостью следующим образом:
\[ \varepsilon_0 = \frac{1}{4\pi \varepsilon} \]

Подставим выражение для электрической постоянной в закон Кулона:
\[ F = \frac{q_1 \cdot q_2}{4 \pi \varepsilon r^2 \varepsilon_0} \]

Так как \( q_1 \) и \( q_2 \) равны \( q \), то:
\[ F = \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon r^2 \varepsilon_0} \]

По определению, электрическое поле \( E \) равно силе \( F \), деленной на заряд \( q \):
\[ E = \frac{F}{q} = \frac{q}{4 \pi \varepsilon r^2 \varepsilon_0} \]

Эта формула позволяет нам вычислить вектор напряженности электрического поля \( E \) в зависимости от расстояния \( r \) от центра или оси симметрии.

Теперь рассмотрим электрическое смещение \( D \). Электрическое смещение \( D \) в изотропном диэлектрике связано с плотностью электрического заряда \( \rho \) следующим образом:
\[ D = \varepsilon E = \varepsilon \cdot \frac{q}{4 \pi \varepsilon r^2 \varepsilon_0} \]

Теперь мы можем рассмотреть графики \( f_1(r) \) и \( f_2(r) \) для случаев \( r \leq R_1 \) и \( r \geq R_2 \), где \( R_1 \) и \( R_2 \) - радиусы шаров для соответствующих случаев.

- Для случая \( r \leq R_1 \), график функции \( f_1(r) \) будет равен нашему электрическому полю \( E \):
\[ f_1(r) = \frac{q}{4 \pi \varepsilon r^2 \varepsilon_0} \]

- Для случая \( r \geq R_2 \), график функции \( f_2(r) \) будет равен нашему электрическому смещению \( D \)
\[ f_2(r) = \varepsilon \cdot \frac{q}{4 \pi \varepsilon r^2 \varepsilon_0} \]

Теперь рассмотрим задачу б и вычислим разность потенциалов \( \Delta \varphi \) между точками \( r_1 = 1,5 \) см и \( r_2 = 7 \) см.

Разность потенциалов \( \Delta \varphi \) в системе точечных зарядов связана с работой по перемещению заряда внутри электрического поля следующим образом:
\[ \Delta \varphi = \varphi_2 - \varphi_1 = - \int_{r_1}^{r_2} E(r) \, dr \]

Где \( \varphi_2 \) - потенциал в точке \( r_2 \), \( \varphi_1 \) - потенциал в точке \( r_1 \), а \( E(r) \) - вектор напряженности электрического поля для данной системы.

Рассчитаем интеграл:
\[ \Delta \varphi = - \int_{r_1}^{r_2}{\frac{q}{4 \pi \varepsilon r^2 \varepsilon_0} \, dr} \]

Известно, что выполнена следующая связь для потенциала:
\[ \varphi = \frac{q}{4 \pi \varepsilon r \varepsilon_0} \]

Тогда разность потенциалов примет вид:
\[ \Delta \varphi = \frac{q}{4 \pi \varepsilon \varepsilon_0} \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right) \]

Теперь мы можем вычислить значение разности потенциалов \( \Delta \varphi \) для данных значений \( r_1 \) и \( r_2 \).

Для части а) необходимо отметить следующие значения векторов напряженности электрического поля \( E \) и электрического смещения \( D \) в зависимости от расстояния \( r \) от центра или оси симметрии.

Значение вектора напряженности электрического поля \( E \) увеличивается с уменьшением расстояния \( r \) от центра или оси симметрии.

Значение электрического смещения \( D \) также увеличивается с уменьшением расстояния \( r \) от центра или оси симметрии.

Теперь нарисуем "качественные" графики \( E = f_1(r) \) и \( D = f_2(r) \) на разных чертежах.