Какой радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник, если известно, что его площадь равна 96 квадратным

Ilya

42

Чтобы решить данную задачу, нам понадобится знание о свойствах вписанной и описанной окружностей в прямоугольном треугольнике.

Первое свойство, которое нам понадобится, заключается в том, что центр вписанной окружности треугольника совпадает с точкой пересечения биссектрис треугольника.

Второе свойство заключается в том, что радиус вписанной окружности можно выразить через площадь треугольника и его полупериметр.

Полупериметр треугольника можно найти, используя формулу полупериметра \( p=\frac{1}{2}(a+b+c) \), где \( a, b, c \) - длины сторон треугольника.

Третье свойство гласит, что радиус описанной окружности в прямоугольном треугольнике равен половине гипотенузы.

Теперь мы можем приступить к решению задачи.

Пусть стороны прямоугольного треугольника равны \(a\), \(b\) и \(c\). Тогда гипотенуза равна \(c\).

Мы знаем, что площадь треугольника равна 96 квадратным сантиметрам:
\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = 96.\]

Радиус описанной окружности равен 10 сантиметрам:
\[R = 10.\]

Нам нужно найти радиус вписанной окружности, обозначим его \(r\).

Сначала найдем полупериметр треугольника:
\[p = \frac{1}{2}(a + b + c).\]

Затем выразим площадь через полупериметр и радиус вписанной окружности:
\[S = p \cdot r.\]

Теперь мы имеем систему двух уравнений:
\[\begin{cases} \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = 96, \\ p \cdot r = 96. \end{cases}\]

Чтобы найти радиус вписанной окружности, нужно решить эту систему уравнений.

Давайте продолжим решение.