Какой результат получится, если удалить множитель из-под знака корня и упростить выражение 22 /27b - 10-/48b + 2 /300b?

Цветок

25

Чтобы решить данную задачу, мы должны удалить множитель из-под знака корня и упростить данное выражение. Давайте разделим данный процесс на несколько шагов.

Шаг 1: Упрощение дробей
Для начала, выполним упрощение каждой дроби в данном выражении. У нас есть следующие дроби:

\(22/27b\), \(-10/48b\), \(2/300b\)

Для упрощения каждой дроби, мы должны представить каждое число в форме обыкновенной дроби с одинаковым знаменателем. Найдем НОК знаменателей этих трех дробей.

Заметим, что знаменатели дробей - это \(27, 48\) и \(300\). Чтобы найти НОК этих чисел, давайте разложим каждое число на простые множители:

\(27 = 3 \cdot 3 \cdot 3\),
\(48 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3\),
\(300 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5\)

Мы видим, что наибольший общий делитель (НОД) этих чисел - это \(2 \cdot 2 \cdot 3 = 12\). Теперь, чтобы найти НОК, мы должны взять наибольшие степени всех простых множителей, которые встречаются в разложениях чисел:

\(27 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^3\),
\(48 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3\),
\(300 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2\)

Теперь мы можем записать НОК знаменателей этих дробей:

\(NOK(27, 48, 300) = 2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^2\)

Шаг 2: Упрощение дробей с помощью НОК
Теперь, когда у нас есть НОК знаменателей, давайте представим каждую дробь в форме дроби с общим знаменателем. Для этого мы умножим каждую дробь на подходящий множитель, чтобы получить знаменатель, равный НОК. Выполним это для каждой дроби:

\(\frac{22}{27b} = \frac{22 \cdot 2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^2}{27b \cdot 2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^2} = \frac{22 \cdot 2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^2}{27 \cdot 2^4 \cdot 3^3 \cdot b \cdot 5^2}\) (1)

\(\frac{-10}{48b} = \frac{-10 \cdot 2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^2}{48b \cdot 2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^2} = \frac{-10 \cdot 2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^2}{48 \cdot 2^4 \cdot 3^3 \cdot b \cdot 5^2}\) (2)

\(\frac{2}{300b} = \frac{2 \cdot 2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^2}{300b \cdot 2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^2} = \frac{2 \cdot 2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^2}{300 \cdot 2^4 \cdot 3^3 \cdot b \cdot 5^2}\) (3)

Теперь все дроби имеют общий знаменатель, равный \(2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^2\).

Шаг 3: Удаление множителя из-под знака корня
Теперь, когда у нас есть дроби с общим знаменателем, мы можем складывать или вычитать числители. В нашем выражении у нас есть следующие числители:

\(22 \cdot 2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^2\),
\(-10 \cdot 2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^2\),
\(2 \cdot 2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^2\)

Теперь объединим числители и выполним операции с ними:

\(22 \cdot 2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^2 - 10 \cdot 2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^2 + 2 \cdot 2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^2\)

Выполняя арифметические операции, мы получаем:

\(22 \cdot 2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^2 - 10 \cdot 2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^2 + 2 \cdot 2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^2 = 12 \cdot 2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^2\)

Шаг 4: Упрощение конечного результата
Теперь, когда у нас есть конечный результат, мы можем упростить его, выделяя общие множители. Разложим число \(12\) на простые множители:

\(12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3\)

Теперь мы можем упростить конечный результат:

\(12 \cdot 2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^2 = 2^2 \cdot 2^4 \cdot 3 \cdot 3^3 \cdot 5^2 = 2^{2+4} \cdot 3^{1+3} \cdot 5^2 = 2^{6} \cdot 3^{4} \cdot 5^2 = 64 \cdot 81 \cdot 5^2\)

Вычислив данное выражение, мы получаем:

\(64 \cdot 81 \cdot 5^2 = 414b\)

Таким образом, результатом удаления множителя из-под знака корня и упрощения данного выражения будет \(414b\).